什麼是艾里函數？
艾里函數 Ai(x) 與 Bi(x) 是艾里微分方程 y'' = x·y（亦即 y'' − x·y = 0）的兩個線性獨立解。它們在物理與應用數學中無所不在：量子力學裡在古典轉折點附近（WKB 連接問題）、光學中焦散與彩虹的描述，以及漸近分析中都會用到。當 x 趨向正無窮大時，Ai(x) 會逐漸衰減趨近於零，Bi(x) 則呈指數成長；而當 x 為負值時，兩者都會振盪，並以 |x|^(−1/4) 的速度緩慢衰減。
如何使用本計算器
輸入任意有限實數 x（可為正、負或零），即可讀出對應的 Ai(x) 與 Bi(x)。預設值 x = 1.0 可作為入門參考。本計算不涉及任何單位——x 是純量、無量綱的實數。
公式說明
當 |x| 不太大時，計算器採用處處收斂的冪級數。兩個級數 f(x) 與 g(x) 透過穩定的遞迴關係逐項相加：對 f，term_k = term_(k−1) × x³ / ((3k−1)(3k))，從 1 開始；對 g，term_k = term_(k−1) × x³ / ((3k)(3k+1))，從 x 開始。接著 Ai(x) = c₁f − c₂g、Bi(x) = √3 (c₁f + c₂g)，其中 c₁ = Ai(0) = 0.3550280539、c₂ = −Ai'(0) = 0.2588194038。當 |x| 超過約 8 時，程式會改用漸近展開式，以避免相減消去造成的誤差。
實際範例（x = 1）
f(1) ≈ 1.1722994、g(1) ≈ 1.0853395。因此 Ai(1) = 0.3550280539×1.1722994 − 0.2588194038×1.0853395 ≈ 0.1352924，而 Bi(1) = √3×(0.4161680 + 0.2808727) ≈ 1.2074236。這些結果與標準參考值完全吻合。
常見問題
Ai(0) 與 Bi(0) 是多少？Ai(0) = 0.3550280539、Bi(0) = √3×Ai(0) = 0.6149266274，皆為精確的封閉解。
為什麼 Bi(x) 會暴增？當 x 為較大的正值時，Bi(x) 以 exp((2/3)x^(3/2)) 的速度成長，在 x ≈ 100 附近就會超出雙精度浮點數的表示範圍。這是函數的正常行為，並非錯誤。
可以輸入負數 x 嗎？可以。當 x 為較大的負值時，函數會振盪，計算器會採用振盪型漸近式以確保精確度。
