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輸入計算

請輸入數字,或以「pi」代表圓周率 π 的運算式(例如 pi/6、2pi、pi/4)。

數學公式

數學公式: 三角函數計算機(弧度)
Show calculation steps (1)
  1. Reciprocal functions

    Reciprocal functions: 三角函數計算機(弧度)

    Cosecant, secant and cotangent are the reciprocals of sine, cosine and tangent respectively.

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結果

sin θ
0.5
theta = 0.5235987756 rad
函數 數值
sin θ 0.5
cos θ 0.86602540378444
tan θ 0.57735026918963

這個計算機的功能

本工具可計算以弧度為單位的角度 θ 的六種三角函數:正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘割(csc)、正割(sec)與餘切(cot)。你可以在「函數」下拉選單中選擇單一函數、sin/cos/tan 三件組,或倒數的 csc/sec/cot 三件組。這是純粹的數學運算,在世界各地的結果都完全一致。

使用方式

先在「函數」選擇器中挑選你想計算的函數,接著在「角度 θ」欄位輸入角度。由於輸入值本身就是弧度,因此不會進行任何角度(度)的換算。你可以直接輸入小數,例如 0.5236;也可以輸入符號運算式,其中 pi 代表圓周率 π,例如 pi/62pipi/43pi/2。計算機會解析運算式、代入 π,並輸出你所要求的函數值。

公式說明

正弦與餘弦是最基本的函數。正切是兩者的比值:

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

倒數函數則為

$$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

當 \(\cos\theta = 0\) 時(即 \(\theta = \pi/2 + k\cdot\pi\)),tan 與 sec 沒有定義;當 \(\sin\theta = 0\) 時(即 \(\theta = k\cdot\pi\)),csc 與 cot 沒有定義。遇到這些情況時,計算機會顯示「未定義」,而不會做除以零的運算。此外,在精確的零值附近若出現極小的浮點誤差,也會被清除,讓結果保持乾淨俐落。

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弧度區間上正弦、餘弦和正切函數的圖形
正弦和餘弦是平滑的波形;正切在餘弦為零處出現垂直漸近線並重複。
單位圓,展示以弧度表示的角 theta 及其正弦和餘弦作為座標
在單位圓上,角度 θ(弧度)對應 \(\cos\theta\) 為 x 座標、\(\sin\theta\) 為 y 座標。

範例演算

將「函數」設為 sin、cos、tan,角度設為 pi/6,此時 \(\theta = 0.5235987756\) 弧度。可得 \(\sin\theta = 0.5\)、\(\cos\theta = 0.8660254038\)(即 \(\sqrt{3}/2\)),以及

$$\tan\theta = \frac{0.5}{0.8660254038} = 0.5773502692$$

(即 \(1/\sqrt{3}\))。若對同一角度切換到 csc、sec、cot 三件組,則 \(\csc = 2\)、\(\sec = 1.1547005384\)、\(\cot = 1.7320508076\)(即 \(\sqrt{3}\))。

常見問題

輸入值是度還是弧度?是弧度。如果你手上的角度是「度」,請先乘以 pi/180(例如 30 度 = pi/6)。

為什麼會顯示「未定義」?因為在該角度下,你要求的函數其分母為零——例如 tan 與 sec 在 \(\pi/2\) 處,或 csc 與 cot 在 0 或 \(\pi\) 處。

可以輸入運算式嗎?可以。請以 pi 代表圓周率 π,並搭配乘法與除法使用,例如 pi/32pi/3

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