這個計算器能做什麼
本工具用於計算一維阻尼諧振子的位移 \(x(t)\)，假設系統從初始位移 \(\text{x}_0\) 處靜止釋放。它求解標準的（以質量歸一化的）運動方程式，並將位移在四個自然週期內逐點列表，讓你清楚看到系統如何逐漸回到平衡位置。同時，工具還會自動判別系統屬於欠阻尼、臨界阻尼或過阻尼。
主導方程式
運動遵循線性常微分方程式 $$\frac{d^2x}{dt^2} + 2k\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$$ 其中 \(\omega_0\) 為無阻尼角頻率，\(k\) 為阻力（阻尼）係數（兩者單位皆為 \(1/\text{s}\)）。在初始條件 \(x(0) = \text{x}_0\) 與 \(\frac{dx}{dt}(0) = 0\) 之下，封閉解的形式取決於 \(k\) 與 \(\omega_0\) 的大小關係。
當 \(k < \omega_0\) 時，系統為欠阻尼，會以較低的阻尼角頻率 \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - k^2}\) 振盪，且振幅依 \(e^{-kt}\) 衰減。當 \(k = \omega_0\) 時，系統為臨界阻尼，能在不振盪的前提下以最快速度回到靜止：$$x(t) = \text{x}_0\left(1 + \omega_0\, t\right) e^{-\omega_0\, t}$$ 當 \(k > \omega_0\) 時，系統為過阻尼，會緩慢爬回平衡而不發生振盪。
使用方式
輸入無阻尼角頻率 \(\omega_0\)（必須大於零）、阻尼係數 \(k\)（大於或等於零，\(k = 0\) 表示純粹無阻尼運動）、初始位移 \(\text{x}_0\)，以及數據表的時間分割數。自然週期為 \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\)；表格範圍涵蓋 \(4 T_0\)，並以相等的步長 \(dt = \frac{\text{timeSpan}}{\text{divisions}}\) 切分，因此會產生 \(\text{divisions}+1\) 列資料。
實際範例
當 \(\omega_0 = 5\)、\(k = 1\)、\(\text{x}_0 = 1\)、分割數為 \(50\) 時，系統屬於欠阻尼，阻尼角頻率 \(\omega_d = \sqrt{25 - 1} = 4.89898\ \text{rad/s}\)。自然週期為 \(1.256637\) 秒，總時間範圍為 \(5.026548\) 秒，\(dt = 0.100531\) 秒。在 \(t = 0\) 時位移為 \(1\)；在第一步 \(t = 0.100531\) 秒時，位移約為 \(0.884153\)。
常見問題
阻尼係數 \(k\) 代表什麼？它是以質量歸一化的「半阻尼」項；每單位質量所受的阻力等於 \(2k\) 乘以速度。
如果 \(k\) 剛好等於 \(\omega_0\) 會怎樣？在這一點上，欠阻尼與過阻尼的公式會出現可去奇異點，因此只要 \(k\) 落在極小的容差範圍內接近 \(\omega_0\)，工具就會改用臨界阻尼公式。
為什麼剛好取四個週期？四個自然週期已足以呈現完整的衰減包絡，同時又能讓表格保持精簡、易於閱讀。
