ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة إزاحة \(x(t)\) لمتذبذب توافقي مخمّد أحادي البُعد يُطلَق من حالة السكون عند إزاحة ابتدائية مقدارها \(x_0\). تحل معادلة الحركة القياسية المُطبَّعة بالكتلة وتجدوِل الموضع على مدى أربع دورات طبيعية، فترى بدقة كيف يستقر النظام تدريجيًا نحو وضع الاتزان. كما تصنّف الأداة السلوك إلى تخميد دون الحرج، أو تخميد حرج، أو تخميد زائد.
المعادلة الحاكمة
تخضع الحركة للمعادلة التفاضلية العادية الخطية $$\frac{d^2x}{dt^2} + 2k\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$$ حيث \(\omega_0\) هو التردد الزاوي غير المخمّد و\(k\) هو معامل المقاومة (التخميد)، وكلاهما بوحدة \(1/\text{ثانية}\). وبالشروط الابتدائية \(x(0) = x_0\) و \(\frac{dx}{dt}(0) = 0\)، يعتمد الحل المغلق على مقدار \(k\) بالنسبة إلى \(\omega_0\).
عندما يكون \(k < \omega_0\) يكون النظام دون الحرج فيتذبذب بتردد زاوي مخمّد مُخفَّض قيمته \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - k^2}\)، مع تناقص السعة وفق \(e^{-kt}\). وعندما يكون \(k = \omega_0\) يكون التخميد حرجًا فيعود النظام إلى السكون بأسرع ما يمكن دون تذبذب: $$x(t) = \text{x}_0\left(1 + \omega_0\, t\right) e^{-\omega_0\, t}$$ أما عندما يكون \(k > \omega_0\) فيكون التخميد زائدًا فيزحف النظام عائدًا ببطء دون أي تذبذب.
طريقة الاستخدام
أدخِل التردد الزاوي غير المخمّد \(\omega_0\) (يجب أن يكون أكبر من الصفر)، ومعامل التخميد \(k\) (صفر أو أكثر، حيث تعطي القيمة \(k = 0\) حركة غير مخمّدة بحتة)، والإزاحة الابتدائية \(x_0\)، وعدد التقسيمات الزمنية للجدول. الدورة الطبيعية هي \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\)، ويمتد الجدول على \(4\,T_0\) بخطوات متساوية مقدارها \(dt = \frac{\text{timeSpan}}{\text{divisions}}\)، ما يعطي عدد صفوف يساوي \(\text{divisions}+1\).
مثال محلول
عند \(\omega_0 = 5\) و \(k = 1\) و \(x_0 = 1\) وعدد تقسيمات 50، يكون النظام دون الحرج بتردد زاوي مخمّد \(\omega_d = \sqrt{25 - 1} = 4.89898\) راديان/ثانية. الدورة الطبيعية تساوي \(1.256637\) ثانية، والمدى الزمني \(5.026548\) ثانية، و \(dt = 0.100531\) ثانية. عند \(t = 0\) تكون الإزاحة \(1\)، وعند الخطوة الأولى \(t = 0.100531\) ثانية تكون نحو \(0.884153\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يمثّل معامل التخميد \(k\)؟ هو حدّ نصف التخميد المُطبَّع بالكتلة؛ فقوة المقاومة لكل وحدة كتلة تساوي \(2k\) مضروبًا في السرعة.
ماذا يحدث إذا كان \(k\) مساويًا تمامًا لـ \(\omega_0\)؟ تحتوي صيغتا التخميد دون الحرج والزائد على نقطة شذوذ قابلة للإزالة عند هذه القيمة، لذلك تستخدم الأداة صيغة التخميد الحرج كلما اقترب \(k\) من \(\omega_0\) ضمن هامش تفاوت ضئيل جدًا.
لماذا أربع دورات بالتحديد؟ أربع دورات طبيعية مدة كافية لإظهار غلاف التضاؤل كاملًا، مع إبقاء الجدول مُختصرًا وسهل القراءة.
