यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल एक-विमीय (1-D) अवमंदित हार्मोनिक दोलक के विस्थापन \(x(t)\) की गणना करता है, जिसे आरंभिक विस्थापन \(x_0\) पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है। यह मानक द्रव्यमान-सामान्यीकृत गति समीकरण को हल करता है और स्थिति को चार प्राकृतिक आवर्तकालों तक तालिकाबद्ध करता है, ताकि आप ठीक-ठीक देख सकें कि निकाय किस तरह संतुलन की ओर स्थिर होता है। साथ ही यह व्यवहार को अल्प-अवमंदित (under-damped), क्रांतिक-अवमंदित (critically damped) या अति-अवमंदित (over-damped) के रूप में वर्गीकृत भी करता है।
नियंत्रक समीकरण
गति इस रैखिक साधारण अवकल समीकरण का पालन करती है: $$\frac{d^2x}{dt^2} + 2k\frac{dx}{dt} + \omega_0^2\, x = 0$$ जहाँ \(\omega_0\) अनवमंदित कोणीय आवृत्ति है और \(k\) प्रतिरोध (अवमंदन) गुणांक है (दोनों की इकाई \(1/\text{s}\))। आरंभिक शर्तों \(x(0) = x_0\) तथा \(\frac{dx}{dt}(0) = 0\) के साथ, बंद-रूप हल इस बात पर निर्भर करता है कि \(k\) की तुलना \(\omega_0\) से कैसी है।
जब \(k < \omega_0\) हो, तो निकाय अल्प-अवमंदित होता है और घटी हुई अवमंदित कोणीय आवृत्ति \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - k^2}\) के साथ दोलन करता है, जिसमें आयाम \(e^{-kt}\) के अनुसार क्षीण होता है: $$x(t) = x_0\, e^{-kt}\left(\cos\omega_d t + \frac{k}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\quad,\quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^{2} - k^{2}}$$ जब \(k = \omega_0\) हो, तो निकाय क्रांतिक-अवमंदित होता है और बिना दोलन किए सबसे तेज़ी से विराम पर लौटता है: $$x(t) = x_0\left(1 + \omega_0\, t\right) e^{-\omega_0\, t}$$ जब \(k > \omega_0\) हो, तो निकाय अति-अवमंदित होता है और बिना किसी दोलन के धीरे-धीरे संतुलन की ओर सरकता है: $$x(t) = \frac{x_0}{2\omega_d}\left[(\omega_d + k)\, e^{(\omega_d - k)t} + (\omega_d - k)\, e^{-(\omega_d + k)t}\right]\quad,\quad \omega_d = \sqrt{k^{2} - \omega_0^{2}}$$
इसका उपयोग कैसे करें
अनवमंदित कोणीय आवृत्ति \(\omega_0\) (जो शून्य से अधिक होनी चाहिए), अवमंदन गुणांक \(k\) (शून्य या उससे अधिक, जहाँ \(k = 0\) शुद्ध अनवमंदित गति देता है), आरंभिक विस्थापन \(x_0\), और तालिका के लिए समय-विभाजनों की संख्या दर्ज करें। प्राकृतिक आवर्तकाल \(T_0 = 2\pi/\omega_0\) होता है; तालिका \(4 T_0\) तक फैली होती है और \(dt = \text{timeSpan}/\text{divisions}\) के बराबर समान चरणों में बँटी होती है, जिससे कुल \(\text{divisions}+1\) पंक्तियाँ बनती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\omega_0 = 5\), \(k = 1\), \(x_0 = 1\) और \(50\) विभाजनों के लिए यह अवस्था अल्प-अवमंदित है, जहाँ \(\omega_d = \sqrt{25 - 1} = 4.89898\ \text{rad/s}\) होता है। प्राकृतिक आवर्तकाल \(1.256637\ \text{s}\) है, फैलाव \(5.026548\ \text{s}\) है और \(dt = 0.100531\ \text{s}\) है। \(t = 0\) पर विस्थापन \(1\) है; पहले चरण \(t = 0.100531\ \text{s}\) पर यह लगभग \(0.884153\) होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अवमंदन गुणांक \(k\) क्या दर्शाता है? यह द्रव्यमान-सामान्यीकृत अर्ध-अवमंदन पद है; प्रति इकाई द्रव्यमान प्रतिरोधी बल वेग के \(2k\) गुना के बराबर होता है।
यदि \(k\) ठीक \(\omega_0\) के बराबर हो तो क्या होगा? वहाँ अल्प- और अति-अवमंदित रूपों में एक हटाने-योग्य विचित्रता (removable singularity) होती है, इसलिए जब भी \(k\), \(\omega_0\) की एक अति-सूक्ष्म सहनशीलता के भीतर होता है, तो टूल क्रांतिक-अवमंदन सूत्र का उपयोग करता है।
ठीक चार आवर्तकाल ही क्यों? चार प्राकृतिक आवर्तकाल इतने लंबे होते हैं कि पूरा क्षय आवरण (decay envelope) दिख जाए, और साथ ही तालिका भी संक्षिप्त व पढ़ने में आसान बनी रहती है।
