什麼是艾里函數數值表計算器？
這個工具能在一段實數 x 範圍內，計算兩個艾里函數 Ai(x) 與 Bi(x)，並可選擇一併列出它們的導數 Ai'(x) 與 Bi'(x)。艾里函數是艾里微分方程 y'' − x·y = 0 的兩個線性獨立解，在物理學中隨處可見：量子力學裡用來描述粒子在古典轉折點附近的波函數，此外也出現在光學、漸近分析以及彩虹理論之中。
使用方式
輸入 x 的起始值、結束值與步長。計算器會從起始 x 到結束 x（含兩端）依步長逐一產生每一列數值。勾選「導數」選項即可一併列出 Ai'(x) 與 Bi'(x)。圖形會以 x 為橫軸繪製 Ai(x) 與 Bi(x)，讓你清楚看到 Ai 在正 x 區間衰減，而兩個函數在負 x 區間都呈現振盪。
計算公式
採用以原點為中心的級數展開，並令 alpha = Ai(0) = 0.3550280539、beta = −Ai'(0) = 0.2588194038：
Ai(x) = alpha·f(x) − beta·g(x)，Bi(x) = sqrt(3)·(alpha·f(x) + beta·g(x))，其中 f(x) = 1 + x^3/6 + x^6/180 + … 而 g(x) = x + x^4/12 + x^7/504 + …。當 |x| 大於約 8 時，計算器會改用以 zeta = (2/3)|x|^(3/2) 表示的漸近公式，以避免級數相消造成的誤差。
實際範例
當 x = 0 時：f(0)=1、g(0)=0，因此 Ai(0) = alpha = 0.3550281，Bi(0) = sqrt(3)·alpha = 0.6149266。當 x = 1 時：f(1) 約為 1.1722535、g(1) 約為 1.0853407，得到 Ai(1) 約 0.1352924、Bi(1) 約 1.2074236，與標準數值表一致。
定義與詞彙表
- 第一類艾里函數，\(\text{Ai}(x)\)
- 艾里方程的解，當 \(x \to +\infty\) 時衰減至零。對於大的正 \(x\)，它的衰減形如 \(\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\)；對於負 \(x\) 它以緩慢增長的波長振盪。
- 第二類艾里函數，\(\text{Bi}(x)\)
- 第二個線性獨立解。當 \(x \to +\infty\) 時它的增長形如 \(\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\)，且如同 Ai，在 \(x<0\) 時振盪。
- 艾里微分方程，\(y'' - xy = 0\)
- 最簡單的具有轉折點的二階線性常微分方程。其通解為 \(y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)\)。它出現在光學、量子力學（線性勢中的粒子）和波問題的 WKB 分析中。
- \(\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}\)
- 艾里函數的自然相位/衰減變數。它控制 \(x>0\) 時的指數增長和衰減，以及 \(x<0\) 時的振盪相位，在漸近展開式中處處出現。
- 轉折點
- \(x\) 的一個值，其中方程的行為改變性質。對於 \(y'' - xy = 0\)，轉折點在 \(x=0\)：對於 \(x<0\)（其中係數 \(-x\) 為正）解為振盪型，對於 \(x>0\) 為指數型（增長或衰減）。
- 漸近展開式
- 以 \(\zeta\)（或 \(x^{3/2}\)）的負冪的級數，對於大的 \(|x|\) 精確逼近 Ai 和 Bi。它無需收斂，但少數幾項在遠離原點處就能給出優異的精度，而公式分頁中的冪級數在那裡收斂緩慢。
- 朗斯基行列式
- 行列式 \(W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)\)。非零常數朗斯基行列式（此處為 \(1/\pi\)）確認 Ai 和 Bi 線性獨立，因此構成一個完整解基。
常見問題
為什麼 Bi(x) 會暴增？當 x 為很大的正值時，Bi(x) 會以 exp(zeta) 的速度成長，約在 x 超過 230 附近就會超出雙精度浮點數的上限。請把上界設得保守一些。
為什麼函數在負 x 區間會波動？當 x 趨向負無窮大時，兩個函數都會振盪，且振幅以 |x|^(−1/4) 的速度衰減。
使用什麼單位？沒有單位——x 是純實數，輸出的數值也都是無因次的。
