二項式平方計算機

輸入計算

第一項 (a)

運算符號 加號 (a + b) 減號 (a − b)

第二項 (b)

結果

二項式的平方

25

展開後數值

a²	9
2ab 中間項	12
b²	4

什麼是二項式的平方？

二項式（binomial）是含有兩個項的代數式，例如 \(a + b\)。所謂「平方」就是把這個式子乘以它自己：\((a + b)^2\)。其中最經典的兩個乘法公式為 $$\left(a + b\right)^2 = a^2 + 2\,a\,b + b^2$$ 以及 $$\left(a - b\right)^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2$$ 這款計算機會把任一種形式展開並算出數值，逐項列出每個組成部分，讓你能一步步核對自己的計算過程。

\((a+b)^2\) 的幾何意義：一個大正方形分成 \(a^2\)、兩個 \(ab\) 矩形和 \(b^2\)。

計算機使用方式

先輸入第一項 a 的數值，選擇二項式中間是加號還是減號，再輸入第二項 b。計算機會回傳展開後的總和，以及三個組成項：\(a^2\)、中間項 \(2ab\)（加法為正、減法為負）以及 \(b^2\)。小數與負數都完全支援。

公式詳解

當你利用分配律（也就是 FOIL 法則）把 \((a + b)(a + b)\) 展開時，會得到 \(a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + 2ab + b^2\)。其中交叉項 \(ab\) 與 \(ba\) 合併為 \(2ab\)。若是相減的情況，中間項的正負號會翻轉，因為 \((a - b)(a - b)\) 會產生 \(-ab - ba = -2ab\)，最後得到 \(a^2 - 2ab + b^2\)。請注意：首項與末項永遠都是正的平方數。

展開式的每一項對應其來源：\(a^2\)、中間的 \(2ab\) 項和 \(b^2\)。

範例演算

展開 \((3 + 2)^2\)。此時 \(a = 3\)、\(b = 2\)。計算 \(a^2 = 9\)、中間項 $$2ab = 2 \times 3 \times 2 = 12$$ \(b^2 = 4\)。把三者相加得到 $$9 + 12 + 4 = 25$$ 正好等於 \((3 + 2)^2 = 5^2 = 25\)。再看 \((5 - 3)^2\)：\(a^2 = 25\)、\(-2ab = -30\)、\(b^2 = 9\)，所以 \(25 - 30 + 9 = 4 = 2^2\)。

常見問題

可以用負數計算嗎？可以。你能在 \(a\) 或 \(b\) 中輸入負值，公式依然成立並正確運算。

為什麼中間項有時候是負的？因為 \((a - b)^2\) 會產生 \(-2ab\)。當你選擇「減號」運算時，這個中間項的正負號就會翻轉。

可以使用小數嗎？可以，計算機接受兩個項輸入任何小數值。