द्विपद का वर्ग क्या होता है?
द्विपद (binomial) एक ऐसा बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें दो पद होते हैं, जैसे a + b। इसका "वर्ग करना" मतलब है व्यंजक को खुद से गुणा करना: \((a + b)^2\)। यहाँ दो प्रसिद्ध सर्वसमिकाएँ (special products) काम आती हैं — \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) और \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)। यह कैलकुलेटर दोनों में से किसी भी रूप का संख्यात्मक विस्तार करता है और हर घटक अलग-अलग दिखाता है, ताकि आप अपना हल चरण-दर-चरण जाँच सकें।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले पद a का मान दर्ज करें, फिर चुनें कि द्विपद में जोड़ का चिह्न है या घटाव का, और उसके बाद दूसरा पद b भरें। कैलकुलेटर पूरा विस्तारित मान तो देता ही है, साथ ही तीन मूल घटक भी दिखाता है: \(a^2\), मध्य पद \(2ab\) (योग के लिए धनात्मक, अंतर के लिए ऋणात्मक), और \(b^2\)। दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ भी पूरी तरह स्वीकार की जाती हैं।
सूत्र को समझें
जब आप वितरण नियम (FOIL) से \((a + b)(a + b)\) को गुणा करते हैं, तो मिलता है $$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$$ बीच के पद \(ab\) और \(ba\) मिलकर \(2ab\) बन जाते हैं। अंतर के मामले में मध्य पद का चिह्न उल्टा हो जाता है, क्योंकि \((a - b)(a - b)\) से \(-ab - ba = -2ab\) मिलता है, जिससे बनता है \(a^2 - 2ab + b^2\)। ध्यान दें कि पहला और आखिरी पद हमेशा धनात्मक वर्ग होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\((3 + 2)^2\) का विस्तार करते हैं। यहाँ \(a = 3\) और \(b = 2\) हैं। तो \(a^2 = 9\), मध्य पद $$2ab = 2 \times 3 \times 2 = 12$$ और \(b^2 = 4\)। इन्हें जोड़ने पर $$9 + 12 + 4 = 25$$ मिलता है — जो \((3 + 2)^2 = 5^2 = 25\) के बराबर है। अब \((5 - 3)^2\) के लिए: \(a^2 = 25\), \(-2ab = -30\), \(b^2 = 9\), यानी $$25 - 30 + 9 = 4 = 2^2$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करता है? हाँ। आप a या b के लिए ऋणात्मक मान दर्ज कर सकते हैं और सूत्र फिर भी सही ढंग से लागू होता है।
मध्य पद कभी-कभी ऋणात्मक क्यों होता है? क्योंकि \((a - b)^2\) से \(-2ab\) बनता है। "घटाव" क्रिया चुनने पर उस मध्य पद का चिह्न उल्टा हो जाता है।
क्या मैं दशमलव का उपयोग कर सकता हूँ? हाँ, कैलकुलेटर दोनों पदों के लिए कोई भी दशमलव मान स्वीकार करता है।
