यह कैलकुलेटर क्या करता है
मानक प्रसामान्य बंटन N(0,1) वही प्रसिद्ध घंटी के आकार वाला वक्र (bell curve) है जिसका माध्य 0 और मानक विचलन 1 होता है। किसी प्रतिशत बिंदु x (जिसे z-स्कोर भी कहते हैं) के लिए यह कैलकुलेटर आपको चार मान देता है: x पर प्रायिकता घनत्व, निचली संचयी प्रायिकता P(X ≤ x), ऊपरी संचयी प्रायिकता P(X ≥ x), और भीतरी दो-तरफा प्रायिकता P(−|x| ≤ X ≤ |x|)। यह किसी भी वास्तविक x के लिए काम करता है — चाहे वह धनात्मक हो, ऋणात्मक हो या शून्य।
इसका उपयोग कैसे करें
बस x का मान भरें और परिणाम पढ़ लें। उदाहरण के लिए, x = 1 का मतलब है माध्य से एक मानक विचलन ऊपर; x = 1.96 वह क्लासिक मान है जो 95% विश्वास स्तर (confidence) की सीमा दर्शाता है। इस टूल को किसी इकाई की ज़रूरत नहीं, क्योंकि मानक प्रसामान्य चर विमाहीन (dimensionless) होता है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ होता है, जहाँ \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.3989423\) है। निचला संचयी बंटन फलन (CDF) $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ है, जिसमें गाउस त्रुटि फलन (Gauss error function) erf का प्रयोग होता है। ऊपरी पुच्छ (tail) \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\) है, और भीतरी प्रायिकता \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\) है। चूँकि साधारण गणित लाइब्रेरियों में erf उपलब्ध नहीं होता, हम इसे Abramowitz और Stegun 7.1.26 परिमेय सन्निकटन (rational approximation) से निकालते हैं (अधिकतम त्रुटि लगभग \(1.5\times10^{-7}\)), जो प्रदर्शन के लिए लगभग छह दशमलव स्थानों तक सटीक है।
हल किया हुआ उदाहरण
x = 1 के लिए: $$\varphi(1) = 0.3989423 \times e^{-0.5} \approx 0.2419707$$ \(\operatorname{erf}(0.7071068) \approx 0.6826895\), इसलिए \(\Phi(1) \approx 0.8413447\), जिससे ऊपरी पुच्छ 0.1586553 और भीतरी प्रायिकता 0.6826895 निकलती है — यही वह जाना-पहचाना नियम है कि "68% मान ±1 मानक विचलन के भीतर आते हैं।"
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
z-स्कोर क्या होता है? यह बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है। मानक प्रसामान्य बंटन में मान और उसका z-स्कोर एक ही होते हैं।
भीतरी प्रायिकता में |x| क्यों इस्तेमाल होता है? दो-तरफा क्षेत्र शून्य के दोनों ओर सममित होता है, इसलिए ऋणात्मक x वही भीतरी प्रायिकता देता है जो उसका धनात्मक रूप देता है।
परिणाम कितने सटीक हैं? त्रुटि-फलन सन्निकटन लगभग छह दशमलव स्थानों तक सटीक है, जो आम सांख्यिकीय कामों के लिए पर्याप्त से कहीं ज़्यादा है।
