ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
التوزيع الطبيعي المعياري N(0,1) هو المنحنى الجرسي الذي يبلغ متوسطه 0 وانحرافه المعياري 1. عند إدخال نقطة معينة x (تُعرف أيضًا بالدرجة المعيارية أو z-score)، تُعيد لك هذه الحاسبة أربع قيم: الكثافة الاحتمالية عند x، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(P(X \ge x)\)، والاحتمال الثنائي الداخلي \(P(-|x| \le X \le |x|)\). وهي تعمل مع أي قيمة حقيقية لـ x سواء كانت موجبة أو سالبة أو صفرًا.
كيفية استخدامها
أدخل قيمة لـ x واقرأ النتائج مباشرةً. على سبيل المثال، القيمة x = 1 تقابل انحرافًا معياريًا واحدًا فوق المتوسط، بينما القيمة x = 1.96 هي الحدّ الكلاسيكي لمستوى ثقة 95%. لا تحتاج الأداة إلى أي وحدات قياس لأن المتغير الطبيعي المعياري مجرّد من الأبعاد.
شرح المعادلات
تُعطى الكثافة بالعلاقة
$$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$حيث أنّ \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.3989423\). أما دالة التوزيع التراكمي السفلية فهي
$$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$باستخدام دالة الخطأ لغاوس erf. والطرف العلوي هو \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\)، والاحتمال الداخلي هو \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\). ولأن مكتبات الرياضيات الأساسية لا تتضمّن دالة erf، فإننا نحسبها باستخدام التقريب النسبي 7.1.26 من مرجع أبراموويتز وستيغون (Abramowitz & Stegun) الذي يبلغ أقصى خطأ فيه نحو \(1.5\times10^{-7}\)، وهو دقيق إلى ستة منازل عشرية تقريبًا عند العرض.
مثال محلول
عند x = 1: تكون
$$\varphi(1) = 0.3989423 \times e^{-0.5} \approx 0.2419707$$وبما أن \(\operatorname{erf}(0.7071068) \approx 0.6826895\)، فإن \(\Phi(1) \approx 0.8413447\)، مما يعطي طرفًا علويًا قدره 0.1586553 واحتمالًا داخليًا قدره 0.6826895 — وهي القاعدة المألوفة التي تقول إن "68% من القيم تقع ضمن \(\pm 1\) انحراف معياري".
الأسئلة الشائعة
ما هي الدرجة المعيارية (z-score)؟ هي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها قيمة ما عن المتوسط. وفي التوزيع الطبيعي المعياري تتساوى القيمة مع درجتها المعيارية.
لماذا يستخدم الاحتمال الداخلي القيمة المطلقة |x|؟ لأن المنطقة الثنائية متماثلة حول الصفر، لذا فإن القيمة السالبة لـ x تعطي الاحتمال الداخلي نفسه الذي تعطيه نظيرتها الموجبة.
ما مدى دقة النتائج؟ تقريب دالة الخطأ دقيق إلى نحو ستة منازل عشرية، وهو أكثر من كافٍ لمعظم الأعمال الإحصائية المعتادة.
