ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تنشئ حاسبة رسم التوزيع الطبيعي جدولاً من أزواج القيم (x، القيمة) للتوزيع الطبيعي (الغاوسي). يمكنك اختيار واحدة من ثلاث دوال لإدراجها في الجدول: كثافة الاحتمال \(f(x)\)، أو الاحتمال التراكمي السفلي \(P(x)\) (دالة التوزيع التراكمي، أو CDF)، أو الاحتمال التراكمي العلوي \(Q(x)\) (دالة البقاء). تُحدَّد سلسلة قيم x من خلال قيمة ابتدائية، وخطوة (مقدار الزيادة)، وعدد النقاط المطلوب توليدها. وعند اختيار المتوسط \(\mu = 0\) والانحراف المعياري \(\sigma = 1\) تحصل على التوزيع الطبيعي القياسي.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة المطلوبة. أدخل المتوسط \(\mu\) والانحراف المعياري \(\sigma\) (الذي يجب أن يكون أكبر من صفر). حدِّد القيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة بين كل قيمة والتي تليها، وعدد التكرارات (النقاط). تُخرِج الحاسبة جدولاً تُعطي فيه كل صفّ \(i\) القيمة \(x = \text{القيمة الابتدائية} + i \cdot \text{الخطوة}\)، إلى جانب قيمة الدالة المختارة عند تلك النقطة. وبالإعدادات الافتراضية (\(\mu=0\)، \(\sigma=1\)، البداية = -5، الخطوة = 0.1، 101 نقطة) تمتد قيم x من -5 إلى +5، فترسم منحنى الجرس المألوف للدالة \(f\) أو المنحنى ذا الشكل الحرف S للدالة \(P\).
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالعلاقة
$$f(\text{x}, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}$$أما الاحتمالات التراكمية فتعتمد على دالة الخطأ erf: فإذا كان \(z = (x-\mu)/(\sigma\sqrt{2})\)، يكون التراكمي السفلي
$$P = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf} z\right)$$والتراكمي العلوي \(Q = 1 - P\). ولأن لغتي Java/Groovy لا تتضمنان دالة erf جاهزة، تستخدم هذه الأداة التقريب متعدد الحدود من Abramowitz & Stegun (المعادلة 7.1.26)، وهو دقيق إلى نحو \(1.5\times10^{-7}\).
مثال محلول
للتوزيع الطبيعي القياسي (\(\mu=0\)، \(\sigma=1\)) عند \(x = 1\): نجد أن
$$f(1) = 0.3989423 \cdot e^{-0.5} = 0.241971$$وبالنسبة لـ \(P\)، يكون \(z = 1/\sqrt{2} = 0.70711\)، و \(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\)، ومن ثَمّ
$$P = \tfrac{1}{2}(1 + 0.68269) = 0.84134$$(وهي القيمة المعروفة \(\Phi(1) \approx 0.8413\)). ثم \(Q = 1 - 0.84134 = 0.15866\)، ويتحقق أن \(P + Q = 1\). ✓
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(\sigma\) موجباً؟ الانحراف المعياري الذي يساوي صفراً أو يكون سالباً لا معنى له، كما أنه يؤدي إلى القسمة على صفر في المعادلات، ولذلك ترفضه الأداة.
هل يمكن أن تكون الخطوة سالبة؟ نعم. الخطوة السالبة تجعل قيم x تتناقص تنازلياً، أما الخطوة التي تساوي صفراً فتعطي عموداً ثابتاً من قيم x المتطابقة.
ما مدى دقة \(P\) و \(Q\)؟ تعتمدان على تقريب متعدد الحدود لدالة erf، بأقصى خطأ يبلغ نحو \(1.5\times10^{-7}\)، وهو أكثر من كافٍ للرسم البياني ولمعظم الأعمال الإحصائية.
