ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي القياسي (CDF)، والتي تُكتب \(\Phi(z)\) أو \(P(Z < z)\). فهي تعطيك احتمال أن يقع متغير عشوائي موزّع توزيعًا طبيعيًا أسفل درجة معيارية z محددة. كما تعرض احتمال الذيل العلوي \(P(Z > z)\) والمئين المقابل له. وهي أداة إحصائية عامة لا تخضع لأي افتراضات خاصة ببلد معيّن، فهي تنطبق في أي مكان.
طريقة الاستخدام
أدخل درجتك المعيارية (z-score) في الحقل الأول. وإذا كان لديك قياس خام بدلًا من ذلك، فأدخل قيمته في خانة z ثم اكتب متوسط التوزيع (μ) والانحراف المعياري (σ)، وستقوم الحاسبة بتوحيد القيمة نيابةً عنك باستخدام المعادلة $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ واترك \(\mu = 0\) و\(\sigma = 1\) إذا أردت التعامل مع المُدخَل كدرجة معيارية جاهزة.
شرح المعادلة
تُعرَّف الدالة التراكمية الطبيعية القياسية عبر دالة الخطأ (error function) كالتالي: $$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ وبما أنه لا توجد صيغة ابتدائية مغلقة للدالة erf، فإن هذه الحاسبة تحسبها باستخدام التقريب الكسري الوارد في مرجع أبراموفيتز وستيغون (7.1.26)، وهو دقيق إلى نحو \(1.5 \times 10^{-7}\) — وهذه دقة تفوق ما تتطلبه أعمال الاحتمالات والإحصاء.
مثال محلول
عند \(z = 1.96\)، وهي قيمة شهيرة في الإحصاء: $$\Phi(1.96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1.96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0.9750$$ ويعني هذا أن نحو 97.5% من التوزيع الطبيعي القياسي يقع أسفل القيمة 1.96، فيتبقى 2.5% في الذيل العلوي — ولهذا السبب تحصر القيمتان ±1.96 نسبة 95% المركزية المستخدمة في فترات الثقة.
الأسئلة الشائعة
ما القيمة عند z = 0؟ \(\Phi(0) = 0.5\) تمامًا، لأن التوزيع الطبيعي متماثل حول متوسطه.
كيف أحصل على احتمال ثنائي الذيل؟ لحدود متماثلة ±z، تكون مساحة الذيلين الخارجية \(2 \times (1 - \Phi(z))\)، أما المساحة المركزية فهي \(2\Phi(z) - 1\).
هل يمكنني استخدام درجات معيارية سالبة؟ نعم. بحكم التماثل فإن \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\)، وتتعامل الحاسبة مع القيم السالبة مباشرةً.
