이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 표준정규분포의 누적분포함수(CDF), 즉 \(\Phi(z)\) 또는 \(P(Z < z)\)를 계산합니다. 정규분포를 따르는 확률변수가 주어진 z 점수보다 작은 값을 가질 확률을 구해 줍니다. 또한 상위 꼬리 확률 \(P(Z > z)\)와 그에 대응하는 백분위수도 함께 알려 줍니다. 특정 국가의 규정에 얽매이지 않는 보편적인 통계 도구이므로 어디서든 그대로 사용할 수 있습니다.
사용 방법
첫 번째 칸에 z 점수를 입력하세요. z 점수 대신 원래 측정값(원자료)만 가지고 있다면, 그 값을 z 칸에 넣고 분포의 평균(\(\mu\))과 표준편차(\(\sigma\))를 함께 입력하면 됩니다. 그러면 계산기가 $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 공식으로 자동 표준화해 줍니다. 입력값이 이미 표준화된 z 점수라면 \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\) 로 그대로 두면 됩니다.
공식 설명
표준정규 CDF는 오차함수(error function)를 이용해 $$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ 로 정의됩니다. erf는 초등함수로 닫힌 형태가 존재하지 않기 때문에, 이 계산기는 Abramowitz & Stegun 7.1.26 유리식 근사를 사용해 계산합니다. 이 근사는 약 \(1.5\times10^{-7}\) 수준의 정확도를 가지며, 확률·통계 작업에 필요한 정밀도를 충분히 만족합니다.
예제로 보는 계산
통계에서 유명한 값인 \(z = 1.96\) 을 살펴보면: $$\Phi(1.96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1.96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0.9750$$ 입니다. 즉 표준정규분포의 약 97.5%가 1.96 보다 작은 영역에 있고, 상위 꼬리에는 2.5%가 남는다는 뜻입니다. ±1.96 이 신뢰구간에서 쓰이는 중심 95% 영역을 둘러싸는 이유가 바로 여기에 있습니다.
자주 묻는 질문
z = 0 일 때 값은 얼마인가요? 정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭이므로 \(\Phi(0) = 0.5\) 로 정확히 떨어집니다.
양측(두 꼬리) 확률은 어떻게 구하나요? 대칭 경계 ±z 에 대해, 바깥쪽 양측 면적은 \(2 \times (1 - \Phi(z))\) 이고, 중심 면적은 \(2\Phi(z) - 1\) 입니다.
음수 z 점수도 쓸 수 있나요? 네. 대칭성에 의해 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) 가 성립하며, 이 계산기는 음수 입력값도 그대로 처리합니다.
