這個計算器能做什麼
本工具用來計算標準常態累積分布函數（CDF），記作 \(\Phi(z)\) 或 \(P(Z < z)\)，也就是常態分布隨機變數落在某個 \(z\) 值以下的機率。除此之外，它還會一併算出上尾機率 \(P(Z > z)\) 以及對應的百分位數。這是一套通用的統計工具，適用於世界各地，沒有任何特定國家的假設或前提。
使用方法
在第一個欄位輸入你的 \(z\) 值即可。如果你手上拿到的是原始測量值，請把它填入 z 欄位，再輸入該分布的平均數（\(\mu\)）與標準差（\(\sigma\)），計算器會依公式 $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 自動幫你標準化。若想直接把輸入值當成已標準化的 z 分數，只要讓 \(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\) 即可。
公式說明
標準常態 CDF 透過誤差函數定義為：$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$由於 erf 沒有初等的封閉解析式，本計算器採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 的有理近似式來求值，誤差約為 \(1.5\times10^{-7}\)，對於機率與統計運算所需的精度而言綽綽有餘。
實例演算
以統計學上赫赫有名的 \(z = 1.96\) 為例：$$\Phi(1.96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1.96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0.9750$$這代表標準常態分布大約有 97.5% 落在 1.96 以下，上尾僅剩 2.5%——這也正是為什麼 \(\pm 1.96\) 會框住中央 95% 的區域，成為信賴區間最常用的數值。
常見問題
z = 0 時的值是多少？\(\Phi(0)\) 剛好等於 0.5，因為常態分布以平均數為中心呈對稱。
雙尾機率該怎麼算？對於對稱的上下界 \(\pm z\)，分布在兩側尾端之外的面積為 \(2 \times (1 - \Phi(z))\)；中央區域的面積則是 \(2\Phi(z) - 1\)。
z 可以是負值嗎？可以。根據對稱性 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\)，計算器也能直接處理負的輸入值。
