Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(\Phi(z)\) ya da \(P(Z < z)\) olarak gösterilen standart normal birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplar. Normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin belirli bir z-skorunun altında kalma olasılığını verir. Ayrıca üst kuyruk olasılığı \(P(Z > z)\) ile ona karşılık gelen yüzdelik dilimi de gösterir. Bu, evrensel bir istatistik aracıdır — ülkeye özgü hiçbir varsayım içermez ve her yerde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
İlk alana z-skorunuzu girin. Elinizde ham bir ölçüm varsa, bu değeri z alanına yazıp dağılımın ortalamasını (μ) ve standart sapmasını (σ) doldurun; hesaplayıcı bunu sizin için $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ formülüyle standartlaştırır. Girdiğiniz değeri doğrudan standartlaştırılmış bir z-skoru olarak değerlendirmek isterseniz \(\mu = 0\) ve \(\sigma = 1\) bırakmanız yeterlidir.
Formülün açıklaması
Standart normal CDF, hata fonksiyonu (erf) üzerinden şöyle tanımlanır: $$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ erf'in kapalı biçimli temel bir ifadesi olmadığından, bu hesaplayıcı onu Abramowitz & Stegun 7.1.26 rasyonel yaklaşımı ile değerlendirir. Bu yaklaşımın doğruluğu yaklaşık \(1{,}5 \times 10^{-7}\) düzeyindedir — olasılık ve istatistik çalışmalarının gerektirdiği hassasiyetin çok ötesinde.
Çözümlü örnek
İstatistikte çok bilinen bir değer olan \(z = 1{,}96\) için: $$\Phi(1{,}96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1{,}96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0{,}9750$$ Bu, standart normal dağılımın yaklaşık %97,5'inin 1,96'nın altında kaldığı, %2,5'inin ise üst kuyrukta yer aldığı anlamına gelir — işte ±1,96 aralığının güven aralıklarında kullanılan merkezdeki %95'i kapsamasının nedeni de budur.
Sıkça sorulan sorular
z = 0 için değer nedir? \(\Phi(0)\), tam olarak 0,5'tir; çünkü normal dağılım ortalamasına göre simetriktir.
İki kuyruklu olasılığı nasıl bulurum? Simetrik ±z sınırları için dışarıda kalan iki kuyruklu alan \(2 \times (1 - \Phi(z))\); merkezdeki alan ise \(2\Phi(z) - 1\) olur.
Negatif z-skoru kullanabilir miyim? Evet. Simetri gereği \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) olur ve hesaplayıcı negatif girdileri doğrudan işler.
