Bu araç ne işe yarar?
Normal Dağılım Grafiği Hesaplama Aracı, normal (Gauss) dağılımı için (x, değer) çiftlerinden oluşan bir tablo oluşturur. Tablolaştırmak istediğiniz üç fonksiyondan birini seçebilirsiniz: olasılık yoğunluğu \(f(\text{x})\), alt kümülatif olasılık \(P(\text{x})\) (yani kümülatif dağılım fonksiyonu veya CDF) ya da üst kümülatif olasılık \(Q(\text{x})\) (sağkalım fonksiyonu). x değerlerinin dizisi; bir başlangıç değeri, bir adım (artış miktarı) ve üretilecek nokta sayısı ile tanımlanır. Ortalama \(\mu = 0\) ve standart sapma \(\sigma = 1\) seçtiğinizde standart normal dağılımı elde edersiniz.
Nasıl kullanılır?
Önce bir fonksiyon seçin. Ardından ortalama \(\mu\) ve standart sapma \(\sigma\) (0'dan büyük olmalıdır) değerlerini girin. Sonra x'in başlangıç değerini, ardışık x değerleri arasındaki artış miktarını ve tekrar sayısını (nokta sayısı) belirleyin. Araç, her i satırında \(\text{x} = \text{başlangıçX} + i \cdot \text{adım}\) değerini ve seçtiğiniz fonksiyonun bu x noktasındaki sonucunu gösteren bir tablo üretir. Varsayılan ayarlarla (\(\mu=0\), \(\sigma=1\), başlangıç = -5, adım = 0.1, 101 nokta) x değeri -5'ten +5'e kadar taranır; böylece f için tanıdık çan eğrisini, P için ise S biçimli eğriyi elde edersiniz.
Formülün açıklaması
Yoğunluk şu şekilde hesaplanır:
$$f(\text{x},\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}$$Kümülatif olasılıklar ise hata fonksiyonunu (erf) kullanır: \(z = (\text{x}-\mu)/(\sigma\sqrt{2})\) olmak üzere, alt kümülatif değer
$$P = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf} z\right)$$ve üst kümülatif değer \(Q = 1 - P\) olur. Java/Groovy'de hazır bir erf fonksiyonu bulunmadığından, bu araç Abramowitz & Stegun 7.1.26 polinom yaklaşımını kullanır; bu yaklaşım yaklaşık \(1.5\times10^{-7}\) hassasiyete sahiptir.
Örnek hesaplama
Standart normal dağılımda (\(\mu=0\), \(\sigma=1\)), x = 1 için:
$$f(1) = 0.3989423 \cdot e^{-0.5} = 0.241971$$P için \(z = 1/\sqrt{2} = 0.70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\) olduğundan
$$P = \frac{1}{2}(1 + 0.68269) = 0.84134$$(yani iyi bilinen \(\Phi(1) \approx 0.8413\)). Buna göre \(Q = 1 - 0.84134 = 0.15866\) ve \(P + Q = 1\). ✓
Sıkça Sorulan Sorular
\(\sigma\) neden pozitif olmak zorunda? Sıfır veya negatif bir standart sapmanın anlamı yoktur ve formüllerde sıfıra bölme hatasına yol açar; bu nedenle araç bu değerleri kabul etmez.
Adım negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir adım x değerlerini azalan yönde ilerletir; sıfır adım ise hep aynı x değerinden oluşan sabit bir sütun üretir.
P ve Q ne kadar doğru? Bu değerler, en fazla yaklaşık \(1.5\times10^{-7}\) hatayla çalışan bir polinom erf yaklaşımı kullanır; bu hassasiyet grafik çizimi ve çoğu istatistiksel çalışma için fazlasıyla yeterlidir.
