Qué hace esta calculadora
La calculadora de gráficas de la distribución normal construye una tabla de pares (x, valor) para la distribución normal (gaussiana). Puedes elegir entre tres funciones para tabular: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(x)\) (la función de distribución acumulada, o CDF), o la probabilidad acumulada superior \(Q(x)\) (la función de supervivencia). La serie de valores de x se define mediante un valor inicial, un paso (incremento) y el número de puntos que quieras generar. Con media \(\mu = 0\) y desviación típica \(\sigma = 1\) obtienes la distribución normal estándar.
Cómo utilizarla
Selecciona una función. Introduce la media \(\mu\) y la desviación típica \(\sigma\) (que debe ser mayor que 0). Define el valor inicial de x, el incremento entre valores consecutivos de x y el número de repeticiones (puntos). La calculadora genera una tabla en la que cada fila i ofrece \(x = x_{\text{Inicial}} + i \cdot \text{paso}\) junto con la función elegida evaluada en ese x. Con los valores predeterminados (\(\mu=0\), \(\sigma=1\), inicio = -5, paso = 0,1, 101 puntos) la x recorre de -5 a +5 y dibuja la conocida campana de Gauss para f, o la curva en forma de S para P.
La fórmula explicada
La densidad es $$f(\text{x}) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}$$ Las probabilidades acumuladas se apoyan en la función error: con \(z = (x-\mu)/(\sigma\sqrt{2})\), la acumulada inferior es $$P(\text{x}) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ y la acumulada superior es \(Q = 1 - P\). Como Java/Groovy no incluye la función erf de serie, esta herramienta emplea la aproximación polinómica 7.1.26 de Abramowitz y Stegun, con una precisión cercana a \(1{,}5\times10^{-7}\).
Ejemplo resuelto
Normal estándar (\(\mu=0\), \(\sigma=1\)) en x = 1: $$f(1) = 0{,}3989423 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}241971$$ Para P, \(z = 1/\sqrt{2} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), de modo que $$P = \tfrac{1}{2}(1 + 0{,}68269) = 0{,}84134$$ (el conocido \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\)). Entonces \(Q = 1 - 0{,}84134 = 0{,}15866\), y \(P + Q = 1\). ✓
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(\sigma\) debe ser positiva? Una desviación típica nula o negativa no tiene sentido y provocaría una división por cero en las fórmulas, así que la herramienta no la admite.
¿Puede el paso ser negativo? Sí. Un paso negativo hace que x disminuya; un paso de cero genera una columna constante con valores de x idénticos.
¿Qué precisión tienen P y Q? Utilizan una aproximación polinómica de la función erf con un error máximo en torno a \(1{,}5\times10^{-7}\), más que suficiente para representar gráficas y para la mayoría del trabajo estadístico.
