Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la función de distribución acumulada (CDF) de la normal estándar, que se escribe \(\Phi(z)\) o \(P(Z < z)\). Te da la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal quede por debajo de un valor z determinado. Además, muestra la probabilidad de la cola superior \(P(Z > z)\) y el percentil correspondiente. Es una herramienta estadística universal: sirve en cualquier país y no parte de ninguna suposición específica de una legislación o región.
Cómo usarla
Escribe tu puntuación z en el primer campo. Si lo que tienes es una medición sin estandarizar, introdúcela en el campo z y rellena la media (μ) y la desviación típica (σ) de la distribución; la calculadora la estandariza por ti aplicando $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ Deja \(\mu = 0\) y \(\sigma = 1\) para tratar el dato introducido como una puntuación z ya estandarizada.
La fórmula al detalle
La CDF de la normal estándar se define a partir de la función de error: $$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ Como la función erf no tiene una expresión elemental cerrada, esta calculadora la evalúa mediante la aproximación racional 7.1.26 de Abramowitz y Stegun, con una precisión cercana a \(1{,}5\times10^{-7}\), más que suficiente para trabajos de probabilidad y estadística.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(z = 1{,}96\), un valor muy conocido en estadística: $$\Phi(1{,}96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1{,}96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0{,}9750$$ Esto significa que alrededor del 97,5 % de la distribución normal estándar queda por debajo de 1,96, dejando un 2,5 % en la cola superior. Por eso el intervalo ±1,96 delimita el 95 % central que se utiliza en los intervalos de confianza.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale en z = 0? \(\Phi(0) = 0{,}5\) exactamente, ya que la distribución normal es simétrica respecto a su media.
¿Cómo obtengo una probabilidad de dos colas? Para límites simétricos ±z, el área de las dos colas exteriores es \(2 \times (1 - \Phi(z))\); el área central es \(2\Phi(z) - 1\).
¿Puedo usar valores z negativos? Sí. Por simetría, \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), y la calculadora admite valores negativos directamente.
