Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia más corta (perpendicular) desde un punto (x₀, y₀) hasta una recta escrita en su forma general \(Ax + By + C = 0\) dentro del plano de dos dimensiones. Se trata de una calculadora puramente geométrica, por lo que funciona en cualquier lugar sin suposiciones ligadas a un país o a un sistema de unidades concreto: el resultado se expresa en las mismas unidades que uses para tus coordenadas.
Cómo usarla
Escribe tu recta en la forma \(Ax + By + C = 0\). Por ejemplo, la recta \(y = 2x + 1\) se transforma en \(2x - y + 1 = 0\), de modo que \(A = 2\), \(B = -1\) y \(C = 1\). Introduce A, B y C y, a continuación, las coordenadas de tu punto. La calculadora te devuelve la distancia perpendicular, la distancia con signo y el factor de normalización \(\sqrt{A^2 + B^2}\).
La fórmula explicada
La distancia viene dada por $$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ El numerador mide cuánto se aleja el punto de cumplir la ecuación de la recta, y al dividir entre la longitud del vector normal \((A, B)\) ese valor se convierte en una distancia geométrica real. Si prescindimos del valor absoluto obtenemos la distancia con signo: $$d_s = \frac{A x_0 + B y_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ un signo positivo indica que el punto está a un lado de la recta y un signo negativo, al otro lado.
Ejemplo resuelto
Tomemos la recta \(3x + 4y - 5 = 0\) y el punto \((2, 3)\). El numerador es \(|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13\). El denominador es \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Por tanto, $$d = \frac{13}{5} = 2{,}6 \text{ unidades.}$$
Preguntas frecuentes
¿Cómo paso de \(y = mx + b\) a \(Ax + By + C = 0\)? Reordena la ecuación a \(mx - y + b = 0\), lo que da \(A = m\), \(B = -1\) y \(C = b\).
¿Y si A y B valen cero a la vez? En ese caso \(Ax + By + C = 0\) no representa una recta válida y la distancia queda indefinida; la calculadora devuelve 0 para evitar dividir entre cero.
¿Qué me indica la distancia con signo? Su signo señala en qué lado de la recta se encuentra el punto, algo muy útil para comprobaciones de semiplano y verificaciones de orientación.
