Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, iki boyutlu düzlemde bir (x₀, y₀) noktasının, genel formda \(Ax + By + C = 0\) şeklinde yazılmış bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığını bulur. Tamamen geometriye dayalı bir hesaplayıcı olduğu için her yerde geçerlidir; ülkeye ya da birime özgü hiçbir varsayım içermez ve sonuç, koordinatlarınızda kullandığınız birim cinsinden çıkar.
Nasıl kullanılır?
Doğrunuzu \(Ax + By + C = 0\) formunda yazın. Örneğin \(y = 2x + 1\) doğrusu \(2x - y + 1 = 0\) hâline gelir; yani \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = 1\) olur. A, B ve C değerlerini girin, ardından noktanızın koordinatlarını yazın. Hesaplayıcı; dik uzaklığı, işaretli uzaklığı ve normalleştirme çarpanı olan \(\sqrt{A^2 + B^2}\) değerini size verir.
Formülün açıklaması
Uzaklık şu formülle bulunur:
$$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$Paydaki ifade, noktanın doğru denklemini sağlamaktan ne kadar uzak olduğunu ölçer; \((A, B)\) normal vektörünün uzunluğuna bölmek ise bunu gerçek bir geometrik uzaklığa dönüştürür. Mutlak değeri kaldırırsanız işaretli uzaklığı elde edersiniz: pozitif işaret noktanın doğrunun bir tarafında, negatif işaret ise diğer tarafında olduğu anlamına gelir.
Örnek çözüm
\(3x + 4y - 5 = 0\) doğrusunu ve \((2, 3)\) noktasını ele alalım. Pay: \(|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13\). Payda: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Dolayısıyla
$$d = \frac{13}{5} = 2{,}6 \text{ birim.}$$Sıkça sorulan sorular
\(y = mx + b\) denklemini \(Ax + By + C = 0\) biçimine nasıl çeviririm? Denklemi \(mx - y + b = 0\) olacak şekilde düzenleyin; buradan \(A = m\), \(B = -1\), \(C = b\) çıkar.
A ve B değerlerinin ikisi de sıfırsa ne olur? Bu durumda \(Ax + By + C = 0\) geçerli bir doğru tanımlamaz ve uzaklık tanımsızdır; sıfıra bölme hatasını önlemek için hesaplayıcı 0 döndürür.
İşaretli uzaklık bana ne anlatır? İşareti, noktanın doğrunun hangi tarafında bulunduğunu gösterir. Bu da yarı düzlem testleri ve yön (oryantasyon) kontrolleri için oldukça kullanışlıdır.
