Bu Araç Ne İşe Yarar?
Bu hesaplayıcı, üç boyutlu uzaydaki bir nokta ile bir düzlem arasındaki en kısa (dik) uzaklığı bulur. Düzlem genel biçimde \(ax + by + cz + d = 0\) şeklinde verilir; nokta ise \((x_0, y_0, z_0)\) koordinatlarıyla tanımlanır. Sonuç her zaman negatif olmayan bir sayıdır ve noktanın düzlemden ne kadar uzakta olduğunu gösterir.
Nasıl Kullanılır?
Önce a, b, c ve d düzlem katsayılarını, ardından \(x_0\), \(y_0\) ve \(z_0\) nokta koordinatlarını girin. Hesapla'ya bastığınızda uzaklık değerini, bunun yanı sıra referans olması için işaretli pay değerini ve düzlemin normal vektörünün büyüklüğünü görürsünüz. İşaretli pay sıfırsa, nokta tam olarak düzlemin üzerindedir (uzaklık = 0).
Formülün Açıklaması
\((a, b, c)\) vektörü, düzlemin normal vektörüdür. \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) ifadesi, noktanın bu normal yönü boyunca ne kadar uzakta olduğunu (işaretli bir değer olarak) verir. Bu ifadenin mutlak değerini, normalin uzunluğu olan \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) değerine bölmek, sonucu gerçek bir geometrik uzaklığa dönüştürür:
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} + \text{c}^{2}}}$$
Çözümlü Örnek
Düzlem: \(x + 2y + 2z - 6 = 0\), nokta \((1, 1, 1)\). Pay \(= |1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6| = |-1| = 1\). Normalin büyüklüğü \(= \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\). Buna göre $$D = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \text{ birim.}$$
Sıkça Sorulan Sorular
Düzlem \(ax+by+cz = d\) biçiminde verilmişse ne yapmalıyım? İfadeyi \(ax+by+cz - d = 0\) olacak şekilde düzenleyin; yani bu hesaplayıcıda sabit terimi \(-d\) olarak girin.
Sonuç neden hiçbir zaman negatif olmuyor? Uzaklık bir büyüklüktür, bu yüzden payın mutlak değeri kullanılır. İşaretli değer ise, noktanın düzlemin hangi tarafında olduğunu belirtmek için ayrıca gösterilir.
a, b ve c'nin hepsi sıfırsa ne olur? Bu durumda geçerli bir düzlem yoktur (normalin uzunluğu sıfırdır) ve uzaklık tanımsızdır; bu sınır durumunda hesaplayıcı 0 değerini döndürür.
