這個計算機的功能
這個工具可以求出三維空間中，一個點與一個平面之間的最短距離（也就是垂直距離）。平面以一般式 \(ax + by + cz + d = 0\) 表示，點則以座標 \((x_0, y_0, z_0)\) 給定。計算結果必定是一個非負數，代表該點離平面有多遠。
如何使用
先填入平面方程式的四個係數 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，接著輸入點的座標 \(x_0\)、\(y_0\)、\(z_0\)，按下計算後即可得到距離。同時還會顯示「帶符號的分子值」以及「平面法向量的長度」供你參考。若帶符號的分子值為 0，表示這個點剛好落在平面上（距離 = 0）。
公式解析
向量 \((a, b, c)\) 正是平面的法向量。式子 \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) 衡量的是該點沿著法向量方向偏離平面的程度（這是一個帶正負號的數值）。將它的絕對值除以法向量的長度 \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)，就能換算成真正的幾何距離：
$$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
範例演算
平面：\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)，點為 \((1, 1, 1)\)。分子 = \(\left| 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6 \right| = \left| -1 \right| = 1\)。法向量長度 = \(\sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\)。因此 $$d = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \text{ 單位}$$
常見問題
如果平面寫成 \(ax+by+cz = d\) 怎麼辦？把它移項成 \(ax+by+cz - d = 0\)，所以在這個計算機中常數項要填入 \(-d\)。
為什麼結果永遠不會是負數？距離是一個大小（量值），所以分子取的是絕對值。至於帶符號的數值則另外顯示，用來判斷該點位於平面的哪一側。
如果 \(a\)、\(b\)、\(c\) 都是 0 會怎樣？這時根本不存在有效的平面（法向量長度為 0），距離無法定義；在這種退化的情況下，本計算機會回傳 0。
