Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia más corta (perpendicular) entre un punto del espacio tridimensional y un plano. El plano se expresa en su forma general ax + by + cz + d = 0 y el punto se define mediante sus coordenadas (x₀, y₀, z₀). El resultado es siempre un número no negativo que indica a qué distancia se encuentra el punto del plano.
Cómo usarla
Introduce los cuatro coeficientes del plano: a, b, c y d. A continuación, escribe las coordenadas del punto x₀, y₀ y z₀. Pulsa calcular para obtener la distancia, junto con el numerador con signo y el módulo del vector normal del plano, que te servirán de referencia. Si el numerador con signo es cero, el punto está justo sobre el plano (distancia = 0).
La fórmula explicada
El vector \((a, b, c)\) es el vector normal al plano. La expresión \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) mide cuánto se aleja el punto en la dirección de esa normal (un valor con signo). Al dividir su valor absoluto entre la longitud de la normal \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), lo convertimos en una distancia geométrica real:
$$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$
Ejemplo resuelto
Plano: \(x + 2y + 2z - 6 = 0\), punto \((1, 1, 1)\). Numerador \(= |1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6| = |-1| = 1\). Módulo de la normal \(= \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\). Por tanto,
$$d = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \text{ unidades}$$
Preguntas frecuentes
¿Y si el plano viene dado como ax+by+cz = d? Reordénalo como \(ax+by+cz - d = 0\), es decir, introduce la constante como \(-d\) en esta calculadora.
¿Por qué el resultado nunca es negativo? La distancia es una magnitud, así que se utiliza el valor absoluto del numerador. El valor con signo se muestra aparte para indicar en qué lado del plano se encuentra el punto.
¿Qué ocurre si a, b y c son todos cero? En ese caso no existe un plano válido (la normal tiene longitud cero) y la distancia queda indefinida; en esta situación degenerada la calculadora devuelve 0.
