À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (CDF), notée \(\Phi(z)\) ou \(P(Z < z)\). Il donne la probabilité qu'une variable aléatoire suivant une loi normale prenne une valeur inférieure à un score z donné. Il indique également la probabilité de la queue supérieure \(P(Z > z)\) ainsi que le percentile correspondant. C'est un outil statistique universel : il s'applique partout, sans hypothèse propre à un pays.
Comment l'utiliser
Saisissez votre score z dans le premier champ. Si vous disposez plutôt d'une mesure brute, entrez cette valeur dans le champ z et renseignez la moyenne (μ) et l'écart-type (σ) de la distribution ; le calculateur la centre et la réduit automatiquement à l'aide de \(z = (x - \mu) / \sigma\). Laissez \(\mu = 0\) et \(\sigma = 1\) pour traiter directement la valeur saisie comme un score z déjà standardisé.
La formule expliquée
La CDF de la loi normale centrée réduite se définit à partir de la fonction d'erreur :
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$Comme erf n'admet pas d'expression élémentaire en forme close, ce calculateur l'évalue grâce à l'approximation rationnelle 7.1.26 d'Abramowitz & Stegun, précise à environ \(1{,}5\times10^{-7}\) — largement suffisant pour les travaux de probabilités et de statistiques.
Exemple concret
Pour z = 1,96, une valeur célèbre en statistique :
$$\Phi(1{,}96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1{,}96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0{,}9750$$Cela signifie qu'environ 97,5 % de la loi normale centrée réduite se situe en dessous de 1,96, laissant 2,5 % dans la queue supérieure — c'est pourquoi l'intervalle ±1,96 délimite les 95 % centraux utilisés dans les intervalles de confiance.
FAQ
Quelle est la valeur en z = 0 ? \(\Phi(0) = 0{,}5\) exactement, car la loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne.
Comment obtenir une probabilité bilatérale ? Pour des bornes symétriques ±z, l'aire bilatérale à l'extérieur vaut \(2 \times (1 - \Phi(z))\) ; l'aire centrale vaut \(2\Phi(z) - 1\).
Puis-je utiliser des scores z négatifs ? Oui. Par symétrie, \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), et le calculateur traite directement les valeurs négatives.
