À quoi sert le calculateur de loi normale
La loi normale (aussi appelée loi de Gauss ou courbe en cloche) décrit la façon dont de nombreuses grandeurs naturelles et statistiques — tailles, notes d'examen, erreurs de mesure — se répartissent symétriquement autour d'une moyenne. Ce calculateur prend un point précis de cette courbe et vous donne trois résultats d'un seul coup : la densité de probabilité au point X, la probabilité cumulée jusqu'à ce point et le z-score correspondant. Trois valeurs suffisent pour commencer.
- Moyenne (μ) : le centre de la distribution, là où la courbe atteint son sommet.
- Écart-type (σ) : la dispersion des données. Il doit être strictement supérieur à 0.
- Valeur X : le point précis de la distribution que vous souhaitez évaluer.
La formule utilisée
La fonction de densité de probabilité (FDP) s'écrit :
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−½((x−μ)/σ)²)
Le calculateur évalue cette densité au point X, calcule la fonction de répartition (FDR) — l'aire sous la courbe de −∞ jusqu'à X, c'est-à-dire la probabilité qu'une valeur soit inférieure ou égale à X — puis détermine le z-score grâce à :
- z = (x − μ) / σ — le nombre d'écarts-types qui sépare X de la moyenne.
Il trace également la courbe en cloche sur l'intervalle μ ± 4σ pour que vous visualisiez exactement où se situe votre valeur X.
Exemple concret
Imaginons des notes d'examen avec une moyenne (μ) de 70 et un écart-type (σ) de 10. Vous voulez évaluer une valeur X de 85.
- Z-score : (85 − 70) / 10 = 1,5
- Densité f(85) : ≈ 0,0130 — la hauteur de la courbe au point 85.
- FDR (probabilité cumulée) : ≈ 0,9332 — autrement dit, environ 93,3 % des notes sont inférieures ou égales à 85, et donc à peu près 6,7 % lui sont supérieures.
On en déduit immédiatement qu'une note de 85 place l'élève dans les 7 % les meilleurs de la classe.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la FDP et la FDR ? La FDP (densité) donne la vraisemblance relative — la hauteur de la courbe — en un point précis, tandis que la FDR (fonction de répartition) donne la probabilité cumulée de toutes les valeurs jusqu'à X inclus. Pour obtenir une probabilité, c'est généralement la FDR qu'il vous faut.
Pourquoi l'écart-type doit-il être supérieur à 0 ? Un écart-type nul signifierait une absence totale de variation, ce qui reviendrait à diviser par zéro dans la formule. La distribution n'a de sens qu'avec une dispersion positive.
Comment trouver la probabilité au-dessus de ma valeur X ? Il suffit de soustraire la FDR à 1. Dans l'exemple ci-dessus, P(X > 85) = 1 − 0,9332 = 0,0668, soit environ 6,7 %.
