حاسبة التوزيع الطبيعي

أدخل الحساب

القيمة (النقطة المئوية x)

Mean μ

Standard deviation σ

صيغة رياضية

Show calculation steps (3)

1. Z-Score

   

   Standardized value of x

2. Lower Cumulative P(X <= x)

   

   Left-tail probability; z is the z-score above

3. Upper Cumulative P(X > x)

   

   Right-tail probability

نتائج

كثافة الاحتمال f(x)

٠٫٢٤١٩٧١

قيمة دالة الكثافة الطبيعية عند x

Standardized z = (x − μ) / σ	١
Lower cumulative probability P(X ≤ x)	٠٫٨٤١٣٤٥
Upper cumulative probability P(X > x)	٠٫١٥٨٦٥٥

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تقوم حاسبة التوزيع الطبيعي بتقييم متغيّر موزّع توزيعًا طبيعيًا عند نقطة محددة \(x\)، انطلاقًا من الوسط الحسابي (\(\mu\)) والانحراف المعياري (\(\sigma\)). وتعيد ثلاث قيم أساسية: كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(P(X > x)\). وهي أداة رياضية وإحصائية عامة لا تخضع لأي افتراضات خاصة ببلد معيّن. وبالقيم الافتراضية \(\mu = 0\) و \(\sigma = 1\) فإنها تعمل على التوزيع الطبيعي المعياري.

كيفية الاستخدام

أدخل القيمة \(x\) التي تريد تقييم التوزيع عندها، ثم الوسط الحسابي \(\mu\)، والانحراف المعياري \(\sigma\) (الذي يجب أن يكون أكبر من 0). تبدأ الحاسبة بتوحيد القيمة عبر العلاقة $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ ثم تحسب الكثافة وكلا الطرفين التراكميين. الاحتمال التراكمي السفلي هو المساحة الواقعة تحت المنحنى على يسار \(x\)؛ أما الاحتمال التراكمي العلوي فهو المساحة على يمينه، ومجموع القيمتين يساوي دائمًا 1.

شرح المعادلة

تُعطى كثافة الاحتمال بالعلاقة $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ أما الاحتمال التراكمي السفلي فهو دالة التوزيع التراكمي $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ حيث \(\operatorname{erf}\) هي دالة الخطأ لغاوس. ولأن مكتبة الرياضيات القياسية لا تتضمّن دالة \(\operatorname{erf}\) جاهزة، تستخدم هذه الأداة التقريب الكسري Abramowitz & Stegun 7.1.26، وهو دقيق حتى حدود \(1\mathrm{e}{-7}\) تقريبًا. والاحتمال التراكمي العلوي هو ببساطة \(1 - \Phi(z)\).

اعلان

الـCDF الأدنى هو المساحة المظللة اليسرى \(P(X \le x)\)؛ والـCDF الأعلى هو المساحة المظللة اليمنى \(P(X > x)\).

الكثافة الطبيعية \(f(x)\) هي ارتفاع المنحنى الجرسي عند القيمة \(x\)، وتتمركز عند المتوسط.

مثال محلول

لنأخذ توزيعًا على نمط معدّل الذكاء (IQ) بقيم \(\mu = 100\) و \(\sigma = 15\)، ونقيّمه عند \(x = 130\). أولًا نحسب $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$ والكثافة هي $$f(130) = \frac{0.3989422804}{15} \cdot e^{-2} = 0.003599750$$ أما الاحتمال التراكمي السفلي فهو \(\Phi(2) = 0.9772498681\)، وبذلك يكون الاحتمال التراكمي العلوي \(0.0227501319\) — أي أن نحو 2.28% من القيم تتجاوز 130.

الأسئلة الشائعة

ما هو \(z\)؟ هو الدرجة المعيارية، أي عدد الانحرافات المعيارية التي تقع بها القيمة \(x\) فوق الوسط الحسابي (قيمة موجبة) أو تحته (قيمة سالبة).

لماذا يجب أن يكون \(\sigma\) موجبًا؟ إذا كان الانحراف المعياري صفرًا أو أقل فإن التوزيع يصبح غير معرّف ويؤدي إلى القسمة على صفر، لذا يجب أن يكون \(\sigma\) أكبر من 0.

هل تتجمّع \(f(x)\) والاحتمالات لتساوي 1؟ الاحتمالان التراكميان \(P(X \le x)\) و \(P(X > x)\) يتجمّعان ليساوي مجموعهما 1. أما الكثافة \(f(x)\) فليست احتمالًا وليست جزءًا من هذا المجموع؛ إنها ارتفاع المنحنى عند النقطة \(x\).