这个计算器能做什么
正态分布计算器可在给定均值（μ）和标准差（σ）的条件下，对某一指定取值 x 处的正态分布进行求值。它会返回三个核心结果：概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(X \le x)\)，以及上侧累积概率 \(P(X > x)\)。这是一款通用的数学与统计工具，不涉及任何特定国家或地区的假设。当采用默认值 \(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\) 时，它计算的就是标准正态分布。
使用方法
输入你要求值的取值 x、均值 μ 以及标准差 σ（σ 必须大于 0）。计算器会先通过 \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) 对取值进行标准化，再计算概率密度和上下两侧的累积概率。下侧累积概率是曲线在 x 左侧的面积，上侧累积概率是 x 右侧的面积，两者相加恒等于 1。
公式详解
概率密度为 $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ 下侧累积概率即累积分布函数 $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right],$$ 其中 erf 是高斯误差函数。由于标准数学库中并不内置 erf 函数，本工具采用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 有理逼近公式，精度约为 \(1\mathrm{e}{-7}\)。上侧累积概率则简单地等于 \(1 - \Phi(z)\)。
实例演算
以一个类似智商（IQ）的分布为例，取 \(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\)，并在 \(x = 130\) 处求值。首先 $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2.$$ 概率密度为 $$f(130) = \frac{0.3989422804}{15} \times e^{-2} = 0.003599750.$$ 下侧累积概率 \(\Phi(2) = 0.9772498681\)，因此上侧累积概率为 \(0.0227501319\)——也就是说，大约 2.28% 的取值会超过 130。
常见问题
z 是什么？z 是标准化分数，表示 x 高于（正值）或低于（负值）均值多少个标准差。
为什么 σ 必须为正？当标准差为零或负数时，分布将无法定义，并会导致除以零的错误，因此 σ 必须大于 0。
f(x) 和这些概率相加等于 1 吗？两个累积概率 \(P(X \le x)\) 和 \(P(X > x)\) 相加等于 1。而概率密度 \(f(x)\) 并不是概率，也不参与这个加和；它表示的是曲线在 x 处的高度。
