ما هو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي؟
يُقال إن متغيرًا عشوائيًا موجبًا X يتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا عندما يتبع لوغاريتمه الطبيعي \(\ln(X)\) توزيعًا طبيعيًا. بعبارة أخرى، \(X = e^Y\) حيث Y متغير طبيعي بمتوسط \(\mu\) وانحراف معياري \(\sigma\). وبما أن اللوغاريتمات لا تُعرَّف إلا للقيم الموجبة، فإن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يقع بالكامل على الأعداد الحقيقية الموجبة، وهذا ما يجعله نموذجًا طبيعيًا للكميات التي لا يمكن أن تكون سالبة: أسعار الأسهم، والدخل، وأحجام الجسيمات، والقياسات البيولوجية، وبيانات الزمن حتى الأعطال.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل القيمة x التي تريد تقييم التوزيع عندها (يجب أن تكون أكبر من 0)، ثم أدخل \(\mu\) و\(\sigma\). وهناك نقطة جوهرية كثيرًا ما يقع فيها المبتدئون: إن \(\mu\) و\(\sigma\) هنا هما المتوسط والانحراف المعياري للقيمة \(\ln(X)\)، وليس للقيمة X نفسها. وتُرجِع الحاسبة ثلاثة أرقام: كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(x) = P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q(x) = P(X > x) = 1 - P(x)\).
شرح الصيغة الرياضية
نُعرِّف الدرجة المعيارية \(z = (\ln x - \mu) / \sigma\). فتكون الكثافة
$$f(x) = \frac{1}{\text{x}\;\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{\left(\ln \text{x} - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}\right)$$أما الاحتمال التراكمي السفلي فهو \(P(x) = \Phi(z)\)، حيث \(\Phi\) هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري،
$$\Phi(z) = 0.5 \cdot \left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$وبما أن دالة الخطأ \(\operatorname{erf}\) ليست مدمجة في المكتبات الرياضية القياسية، فإن هذه الأداة تستخدم تقريب كثير الحدود من Abramowitz & Stegun 7.1.26، وهو دقيق إلى نحو \(1.5 \times 10^{-7}\).
مثال محلول
لنأخذ \(x = 2\)، و\(\mu = 0\)، و\(\sigma = 1\). عندئذٍ يكون \(\ln(2) = 0.693147\) و\(z = 0.693147\). فتكون الكثافة \(f(2)\) مساوية للحد الأسي \(0.786429\) مقسومًا على \(5.013256\)، ما يعطي نحو \(0.156874\). أما الاحتمال التراكمي السفلي فهو \(\Phi(0.693147) \approx 0.755891\)، وبالتالي يكون الاحتمال التراكمي العلوي \(Q(2) = 1 - 0.755891 \approx 0.244109\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون x موجبة؟ يُعرَّف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي فقط من أجل \(x > 0\) لأن \(\ln(x)\) غير معرَّفة فيما عدا ذلك. وعند \(x \le 0\) تكون الكثافة 0، و\(P(x) = 0\)، و\(Q(x) = 1\).
كيف أحصل على متوسط X نفسها؟ يساوي متوسط X القيمة \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\)، ويساوي الوسيط \(\exp(\mu)\)، ويساوي المنوال \(\exp(\mu - \sigma^2)\). ولاحظ أن هذه القيم تختلف عن \(\mu\) و\(\sigma\) اللذين يصفان \(\ln(X)\).
ماذا لو كانت \(\sigma\) تساوي 0؟ الانحراف المعياري الصفري يعطي كتلة نقطية منحلّة ويؤدي إلى القسمة على صفر، ولذلك يُرفض؛ استخدم بدلًا منه قيمة \(\sigma\) موجبة صغيرة.
