ما هو توزيع لابلاس؟
توزيع لابلاس، المعروف أيضًا بالتوزيع الأسي المزدوج، هو توزيع احتمالي متصل ومتماثل حول مركزه. يبدو وكأنه توزيعان أسيّان متلاصقان ظهرًا لظهر، مما يُنتج قمة حادة (نقطة انكسار) عند معامل الموقع، وذيولًا أثقل من تلك التي في التوزيع الطبيعي. يُستخدم على نطاق واسع في معالجة الإشارات، والانحدار المتين (أصغر الانحرافات المطلقة)، والاستدلال البايزي (التوزيع المسبق لطريقة LASSO)، وفي التمويل لنمذجة العوائد ذات الذيول السميكة. وهو أداة رياضية عامة تنطبق بالطريقة نفسها في أي مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاثة أرقام: x وهي قيمة المتغير العشوائي؛ معامل الموقع mu الذي يحدد المركز (المتوسط والوسيط)؛ ومعامل المقياس b الذي يجب أن يكون موجبًا تمامًا، وهو الذي يتحكم في مدى التشتت. تُرجع الحاسبة كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(P(X > x)\). ومجموع القيمتين التراكميتين يساوي دائمًا 1 بالضبط.
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالصيغة
$$f(x) = \frac{1}{2\,\text{b}}\exp\!\left(-\frac{\left|\text{x} - \text{μ}\right|}{\text{b}}\right)$$أما الدالة التراكمية فهي مجزّأة:
$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\!\left(\dfrac{\text{x} - \text{μ}}{\text{b}}\right) & \text{if } \text{x} < \text{μ} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\exp\!\left(-\dfrac{\text{x} - \text{μ}}{\text{b}}\right) & \text{if } \text{x} \geq \text{μ} \end{cases}$$واستخدام القيمة المطلقة للانحراف يُبقي الأُس غير موجب، فلا يحدث طفحان (overflow) في الدالة exp() أبدًا. ويساوي المتوسط \(\text{μ}\)، بينما يساوي التباين \(2\text{b}^2\).
مثال محلول
لنفترض أن \(x = 1\)، وmu \(= 0\)، وb \(= 1\). يكون الانحراف \(d = 1\). كثافة الاحتمال:
$$f(1) = 0.5 \cdot \exp(-1) = 0.18394$$وبما أن x ≥ mu، فإن
$$F(1) = 1 - 0.5 \cdot \exp(-1) = 0.81606$$ويكون الاحتمال العلوي \(1 - 0.81606 = 0.18394\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون b موجبًا؟ يظهر المقياس في المقام وداخل الدالة الأسية؛ فإذا كان \(\text{b} \le 0\) تصبح الكثافة غير معرّفة، ولذلك تتحقق الحاسبة من صحة هذه القيمة.
ماذا يحدث عند x = mu؟ تبلغ الكثافة قيمتها العظمى \(\frac{1}{2\text{b}}\)، ويساوي كلا الاحتمالين التراكميين 0.5. وللدالة عند هذه النقطة انكسار غير قابل للاشتقاق.
هل التوزيع متماثل؟ نعم. إذ إن \(f(\text{μ} + t) = f(\text{μ} - t)\) و\(F(\text{μ} + t) = 1 - F(\text{μ} - t)\) لأي قيمة t.
