ما هو توزيع لابلاس؟
توزيع لابلاس، المعروف أيضًا باسم التوزيع الأُسّي المزدوج، هو توزيع احتمالي متصل يبدو وكأنه منحنيان أُسّيان موضوعان ظهرًا لظهر عند قمة مركزية واحدة. يتحكم في شكله رقمان: مُعامِل الموقع a (حيث يتطابق عنده الوسط الحسابي والوسيط والمنوال جميعًا) ومُعامِل المقياس b (الذي يجب أن يكون أكبر من الصفر، ويتحكم في سرعة تلاشي الأطراف). ويظهر هذا التوزيع في معالجة الإشارات والإحصاء المتين (Robust) والتوزيعات السابقة لـ LASSO البايزي، وفي النماذج التي تكون فيها البيانات ذات أطراف أثقل من التوزيع الطبيعي.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر الكمية التي تريدها عبر أزرار اختيار الدالة: كثافة الاحتمال \(f\)، أو الاحتمال التراكمي الأدنى \(P\) (الدالة التراكمية CDF)، أو الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q\). أدخِل مُعامِل الموقع \(a\) ومُعامِل المقياس الموجب \(b\). ثم حدِّد سلسلة قيم \(x\) عبر ثلاثة حقول: القيمة الابتدائية لـ x ومقدار الزيادة في x وعدد التكرارات. تُولَّد النقاط وفق الصيغة $$x_k = x_{\text{Initial}} + k \cdot x_{\text{Step}}$$ حيث \(k\) من 0 إلى \(\text{count} - 1\). تحسب الأداة الدالة المختارة عند كل نقطة، وترسم خطًّا بيانيًّا، وتُدرِج كل زوج (\(x\)، القيمة) في جدول. أما القيمة البارزة المعروضة فهي قيمة الدالة عند أول \(x\).
شرح الصيغة
الكثافة تُعطى بالعلاقة $$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$ تجعل القيمة المطلقة المنحنى متماثلًا حول \(a\). وبالتكامل نحصل على الدالة التراكمية: عندما \(x < a\) يكون \(P = 0.5 \cdot e^{\frac{x-a}{b}}\)؛ وعندما \(x \ge a\) يكون \(P = 1 - 0.5 \cdot e^{-\frac{x-a}{b}}\). أما الطرف الأعلى فهو ببساطة \(Q = 1 - P\). وعند القمة \(x = a\) نحصل على \(f = \frac{1}{2b}\) وعلى \(P = Q = 0.5\).
مثال محلول
بفرض \(a = 0\) و\(b = 0.7\) عند تقييم \(x = 1\): $$f = \frac{1}{1.4} \cdot e^{-\frac{1}{0.7}} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118$$ وبما أن \(x \ge a\) فإن \(P = 1 - 0.5 \cdot e^{-1.42857} = 0.88017\) و\(Q = 0.11983\). لاحِظ أن \(P + Q = 1\) تمامًا، وهي طريقة سريعة للتحقق من النتيجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(b\) موجبًا؟ لأن الكثافة تقسم على \(2b\)، كما يستخدم الأُسّ القيمة \(b\)؛ فإذا كان \(b \le 0\) تصبح الدالة غير معرَّفة، ولذلك ترفض الحاسبة هذه القيمة.
ماذا يمثل \(Q\)؟ يمثل \(Q(x)\) احتمال أن تتجاوز قيمة عشوائية القيمة \(x\)، أي احتمال الطرف الأيمن أو احتمال البقاء، ويساوي \(1 - P(x)\).
كم عدد النقاط التي يمكنني رسمها؟ أي عدد صحيح موجب حتى 1000. وتغطي القيم الافتراضية (البداية \(-5\)، الخطوة 0.1، 101 نقطة) المدى من \(x = -5\) إلى \(x = +5\).
