Phân phối Laplace là gì?
Phân phối Laplace, còn gọi là phân phối hàm mũ kép, là một phân phối xác suất liên tục trông giống như hai đường cong hàm mũ ghép lưng vào nhau tại một đỉnh trung tâm. Nó được xác định bởi hai tham số: tham số vị trí a (cũng chính là giá trị trung bình, trung vị và mốt — cả ba trùng nhau tại đó) và tham số tỷ lệ b (phải lớn hơn 0 và quyết định mức độ suy giảm nhanh hay chậm của hai đuôi). Phân phối này xuất hiện trong xử lý tín hiệu, thống kê bền vững (robust statistics), tiên nghiệm LASSO trong thống kê Bayes, và những mô hình mà dữ liệu có đuôi nặng hơn so với phân phối chuẩn.
Cách dùng máy tính này
Trước tiên, hãy chọn đại lượng bạn muốn tính bằng nhóm nút Chọn hàm số: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P (tức hàm CDF), hoặc xác suất tích lũy trên Q. Nhập tham số vị trí a và tham số tỷ lệ b (số dương). Sau đó xác định dãy x qua ba ô: giá trị x ban đầu, bước nhảy x và số lần lặp. Các điểm được tạo theo công thức \(x_k = x_{\text{BanĐầu}} + k \cdot x_{\text{Bước}}\) với \(k\) chạy từ 0 đến số điểm\(-1\). Công cụ sẽ tính hàm bạn chọn tại từng điểm, vẽ đồ thị đường và liệt kê mỗi cặp (x, giá trị) trong một bảng. Giá trị nổi bật hiển thị phía trên chính là giá trị của hàm tại điểm x đầu tiên.
Giải thích công thức
Hàm mật độ là
$$f(x) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$Dấu giá trị tuyệt đối làm cho đường cong đối xứng quanh a. Khi tích phân ta được hàm CDF:
$$P(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\, e^{\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x < \text{a} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\, e^{-\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x \ge \text{a} \end{cases}$$Đuôi trên đơn giản là \(Q = 1 - P\). Ngay tại đỉnh \(x = a\), ta có \(f = \frac{1}{2b}\) và \(P = Q = 0{,}5\).
Ví dụ minh họa
Với \(a = 0\), \(b = 0{,}7\) và tính tại \(x = 1\):
$$f = \left(\frac{1}{1{,}4}\right) \cdot e^{-\frac{1}{0{,}7}} = 0{,}714286 \times 0{,}239651 \approx 0{,}17118$$Vì \(x \ge a\) nên \(P = 1 - 0{,}5 \cdot e^{-1{,}42857} = 0{,}88017\) và \(Q = 0{,}11983\). Để ý rằng \(P + Q = 1\) một cách chính xác — đây là một cách kiểm tra nhanh rất tiện.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao b phải dương? Hàm mật độ chia cho \(2b\) và dùng \(b\) trong số mũ; nếu \(b \le 0\) thì hàm không xác định, nên máy tính sẽ từ chối giá trị đó.
Q biểu thị điều gì? \(Q(x)\) là xác suất để một giá trị ngẫu nhiên vượt quá \(x\), tức xác suất đuôi phải hay xác suất sống sót (survival probability), bằng \(1 - P(x)\).
Tôi có thể vẽ tối đa bao nhiêu điểm? Bất kỳ số nguyên dương nào lên tới 1000. Giá trị mặc định (bắt đầu \(-5\), bước 0,1, 101 điểm) trải x từ \(-5\) đến \(+5\).
