Qu'est-ce que la loi de Laplace ?
La loi de Laplace, également appelée loi double exponentielle, est une loi de probabilité continue qui ressemble à deux courbes exponentielles adossées l'une à l'autre autour d'un pic central. Elle dépend de deux paramètres : un paramètre de position a (où coïncident la moyenne, la médiane et le mode) et un paramètre d'échelle b (qui doit être strictement positif et qui détermine la vitesse de décroissance des queues). On la rencontre en traitement du signal, en statistique robuste, dans les a priori du LASSO bayésien, ainsi que dans les modèles où les données présentent des queues plus lourdes que celles de la loi normale.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez la grandeur souhaitée à l'aide des boutons radio Choix de la fonction : la densité de probabilité \(f\), la probabilité cumulée inférieure \(P\) (la fonction de répartition) ou la probabilité cumulée supérieure \(Q\). Saisissez le paramètre de position \(a\) et un paramètre d'échelle \(b\) strictement positif. Définissez ensuite la séquence des \(x\) grâce à trois champs : valeur initiale de x, incrément de x et nombre de répétitions. Les points sont générés selon $$x_k = x_{\text{Initial}} + k \cdot x_{\text{Step}}$$ pour \(k\) allant de 0 à \(\text{count} - 1\). L'outil évalue la fonction choisie en chaque point, trace une courbe et liste chaque couple \((x, \text{valeur})\) dans un tableau. La valeur mise en avant correspond à la fonction évaluée au premier \(x\).
La formule expliquée
La densité s'écrit $$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}.$$ La valeur absolue rend la courbe symétrique autour de \(a\). En intégrant, on obtient la fonction de répartition : pour \(x < a\), \(P = 0{,}5 \cdot e^{\frac{x-a}{b}}\) ; pour \(x \ge a\), \(P = 1 - 0{,}5 \cdot e^{-\frac{x-a}{b}}\). La queue supérieure vaut tout simplement \(Q = 1 - P\). Au sommet \(x = a\), on obtient \(f = \frac{1}{2b}\) et \(P = Q = 0{,}5\).
Exemple détaillé
Avec \(a = 0\) et \(b = 0{,}7\), évalués en \(x = 1\) : $$f = \frac{1}{1{,}4} \cdot e^{-\frac{1}{0{,}7}} = 0{,}714286 \times 0{,}239651 \approx 0{,}17118.$$ Comme \(x \ge a\), on a \(P = 1 - 0{,}5 \cdot e^{-1{,}42857} = 0{,}88017\) et \(Q = 0{,}11983\). On remarque que \(P + Q = 1\) exactement, ce qui constitue une vérification bien pratique.
FAQ
Pourquoi b doit-il être positif ? La densité divise par \(2b\) et l'exposant fait intervenir \(b\) ; si \(b \le 0\), la fonction n'est pas définie, c'est pourquoi le calculateur refuse cette valeur.
Que représente Q ? \(Q(x)\) est la probabilité qu'une valeur aléatoire dépasse \(x\), autrement dit la probabilité de la queue droite (ou probabilité de survie), égale à \(1 - P(x)\).
Combien de points puis-je tracer ? N'importe quel entier positif jusqu'à 1000. Les valeurs par défaut (début \(-5\), pas \(0{,}1\), 101 points) couvrent les \(x\) de \(-5\) à \(+5\).
