什么是拉普拉斯分布？
拉普拉斯分布又称双指数分布，是一种连续型概率分布。它的形状就像两条指数曲线背靠背地拼接在一个中心峰值处。该分布由两个参数决定：位置参数 a（此处均值、中位数和众数三者重合）和尺度参数 b（必须大于零，用来控制尾部衰减的快慢）。拉普拉斯分布广泛出现在信号处理、稳健统计、贝叶斯 LASSO 先验，以及那些数据尾部比正态分布更厚（更易出现极端值）的建模场景中。
如何使用本计算器
先用函数选择单选框确定要计算的量：概率密度 \(f\)、下侧累积概率 \(P\)（即 CDF）或上侧累积概率 \(Q\)。接着输入位置参数 \(a\) 和一个正的尺度参数 \(b\)。然后用三个输入框定义 \(x\) 序列：x 初始值、x 步长和重复次数。各取值点按 $$x_k = x_{\text{初始值}} + k \cdot x_{\text{步长}}$$ 生成，其中 \(k\) 从 0 取到 次数\(-1\)。工具会在每个点上计算所选函数，绘制折线图，并在表格中列出每一对 \((x, \text{函数值})\)。页面顶部突出显示的数值，就是第一个 \(x\) 处对应的函数值。
公式详解
密度函数为 $$f(x, a, b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}.$$ 其中的绝对值使曲线关于 \(a\) 对称。对其积分即可得到累积分布函数（CDF）：当 \(x < a\) 时，\(P = 0.5 \cdot \exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\)；当 \(x \ge a\) 时，\(P = 1 - 0.5 \cdot \exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\)。上侧（右尾）概率则为 \(Q = 1 - P\)。在峰值 \(x = a\) 处，有 \(f = \frac{1}{2b}\)，且 \(P = Q = 0.5\)。
计算实例
取 \(a = 0\)、\(b = 0.7\)，在 \(x = 1\) 处计算：$$f = \frac{1}{1.4} \cdot \exp\!\left(-\frac{1}{0.7}\right) = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118.$$ 由于 \(x \ge a\)，故 \(P = 1 - 0.5 \cdot \exp(-1.42857) = 0.88017\)，\(Q = 0.11983\)。可以注意到 \(P + Q\) 恰好等于 1，这是一个很方便的自检方法。
常见问题
为什么 b 必须为正？密度公式要除以 \(2b\)，且指数中也用到 \(b\)；如果 \(b \le 0\)，函数就无定义，因此计算器会拒绝这样的输入。
Q 代表什么？\(Q(x)\) 是随机变量取值超过 \(x\) 的概率，也就是右尾概率（或称生存概率），其值等于 \(1 - P(x)\)。
最多能绘制多少个点？可以是 1 到 1000 之间的任意正整数。默认设置（起始 \(-5\)、步长 0.1、共 101 个点）会让 \(x\) 从 \(-5\) 一直取到 \(+5\)。
