什么是柯西分布？
柯西分布（又称洛伦兹分布或柯西-洛伦兹分布）是一种连续型概率分布，由两个参数决定：位置参数 \(x_0\)，对应曲线的峰值和中位数；以及取正值的尺度参数 \(\gamma\)，即半峰半宽（峰值高度一半处的半宽）。它最著名的特点就是“重尾”——与正态分布不同，柯西分布既没有定义良好的均值，也没有方差。标准（典型）柯西分布取 \(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\)，此时它与自由度为 1 的学生 t 分布完全相同。本计算器纯属数学运算，在任何地区的结果都完全一致。
如何使用本计算器
输入你想要求值的分位点 \(x\)、位置参数 \(x_0\)，以及尺度参数 \(\gamma\)（必须大于零）。计算器会返回概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(X \le x)\) 以及上侧累积概率 \(P(X > x)\)。若要计算标准柯西分布，只需保持 \(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\) 即可。
公式解析
首先定义标准化值 \(z = (x - x_0) / \gamma\)。概率密度为
$$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$它等价于
$$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$累积分布函数为
$$F(x) = 0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$即下侧累积概率；而上侧累积概率就是 \(1 - F(x)\)。由于 \(\arctan\) 的取值范围是 \((-\pi/2, \pi/2)\)，因此累积概率始终严格落在 0 和 1 之间。
实例演算
取 \(x = 1\)、\(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\)，则 \(z = 1\)。概率密度为
$$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0.159155$$由于 \(\arctan(1) = 0.785398\)，所以下侧累积概率为
$$0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0.785398 = 0.75$$上侧累积概率为 \(0.25\)。
常见问题
为什么不显示均值和方差？柯西分布的尾部太重，导致其均值和方差在数学上都无法定义，因此即使给出这两个数值也毫无意义。
峰值处是什么样子？当 \(x = x_0\) 时，概率密度取得最大值 \(\dfrac{1}{\pi \cdot \gamma}\)，此时上下两侧的累积概率都等于 \(0.5\)。
如果 \(\gamma\) 为零或负数会怎样？尺度参数必须严格为正；\(\gamma\) 取非正值会使分布无法定义，因此会被拒绝。
