什麼是柯西分布？
柯西分布（又稱勞侖茲分布或柯西－勞侖茲分布）是一種連續型機率分布，由兩個參數決定：位置參數 \(x_0\)，也就是曲線的峰值與中位數所在；以及正值的尺度參數 \(\gamma\)，即半高寬的一半。它最著名的特徵就是「厚尾」：與常態分布不同，柯西分布並沒有定義出來的平均數與變異數。標準（典型）柯西分布取 \(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\)，此時它與自由度為 1 的學生 t 分布完全相同。這是一個純數學的計算工具，在世界各地的運算結果都完全一致。
如何使用本計算機
請輸入想要評估分布的百分位點 \(x\)、位置參數 \(x_0\)，以及尺度參數 \(\gamma\)（必須大於零）。計算機會回傳機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(X \le x)\)，以及上累積機率 \(P(X > x)\)。若要計算標準柯西分布，請將 \(x_0\) 設為 0、\(\gamma\) 設為 1。
公式解析
首先定義標準化值 \(z = (x - x_0) / \gamma\)。機率密度為 $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$ 也可改寫為 $$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$ 累積分布函數為 $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z)$$ 即下累積機率；上累積機率則只要計算 \(1 - F(x)\) 即可。由於 \(\arctan\) 的值域落在 \((-\pi/2, \pi/2)\)，因此累積機率必定嚴格介於 0 與 1 之間。
實例演算
假設 \(x = 1\)、\(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\)，則 \(z = 1\)。機率密度為 $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0.159155$$ 由於 \(\arctan(1) = 0.785398\)，下累積機率為 $$\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot 0.785398 = 0.75$$ 上累積機率則為 \(0.25\)。
常見問題
為什麼不顯示平均數與變異數？柯西分布的尾部極厚，導致其平均數與變異數在數學上根本無從定義，因此就算列出來也毫無意義。
峰值長什麼樣子？在 \(x = x_0\) 處，機率密度達到最大值 \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\)，而上、下累積機率此時皆為 \(0.5\)。
如果 \(\gamma\) 等於零或為負值會怎樣？尺度參數必須嚴格為正值；若 \(\gamma\) 為零或負數，分布將無法定義，因此會被拒絕。
