這個計算器的功能
本工具用來計算柯西分布（又稱勞侖茲分布，Lorentz distribution）的百分位數（也稱為分位數或百分點）。只要輸入一個累積機率，以及該分布的兩個參數——位置參數 x0（即中位數與峰值所在位置）與尺度參數 \(\gamma\)（gamma，半高半寬）——計算器就會傳回達到該機率時對應的數值 x。這純粹是數學運算，在任何地方的結果都完全一致。
使用方式
首先選擇累積模式。若你的機率 P 是左尾機率，亦即 \(P = \text{Prob}(X \le x)\)，請選擇 Lower（下側）；若你的機率 Q 是右尾機率，亦即 \(Q = \text{Prob}(X \ge x)\)，則選擇 Upper（上側）。接著輸入介於 0 與 1 之間（不含端點）的機率，例如要求第 95 百分位數就填 0.95；再填入位置參數 x0 與尺度參數 \(\gamma\)（必須為正數）。計算器便會傳回對應的 x。
公式說明
柯西分布的累積分布函數為 $$F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right).$$將它反解後，可得到分位數函數 $$x = x_0 + \gamma\cdot\tan\!\left(\pi\left(P - \tfrac{1}{2}\right)\right),$$其中 P 為下側累積機率。若你輸入的是上側機率 Q，工具會先以 \(P = 1 - Q\) 進行轉換。當 \(P = 0.5\) 時，結果恰為 x0；而當 P 趨近 0 或 1 時，結果會分別發散到負無窮或正無窮，這正反映了柯西分布著名的厚尾特性（它沒有有限的平均值與變異數）。
範例演算
以 \(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\) 求下側第 95 百分位數：\(P = 0.95\)，因此 $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0.45) = \tan(1.41372 \text{ 弧度}) \approx 6.31375.$$驗算：\(F(6.31375) = 0.5 + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95\)。再以 \(x_0 = 2\)、\(\gamma = 3\)、\(P = 0.75\) 為例：$$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0.25) = 2 + 3\cdot 1 = 5.0.$$
常見問題
下側模式與上側模式有什麼差別？兩者互為補數：上側機率 0.05 所得到的 x，與下側機率 0.95 所得到的 x 完全相同。
為什麼機率必須嚴格介於 0 與 1 之間？因為當機率恰為 0 或 1 時，分位數會是正無窮或負無窮，並沒有有限的數值。
尺度參數可以是負數嗎？不行。尺度參數 \(\gamma\) 必須大於 0；它代表的是半寬，負值在數學上沒有定義。
