這個計算器的用途
本工具會回傳幾何分配的百分位數（分位數）：給定一個累積機率與每次試驗的成功機率 \(p\)，求出對應的數值 \(x\)。此處的幾何分配計算的是第一次成功之前的失敗次數，定義域為 \(x = 0, 1, 2, 3, \ldots\)。其機率質量函數為 $$f(x, p) = p(1 - p)^{x}.$$
兩種累積機率的定義方式
你可以從任一尾端著手計算。下尾累積機率 $$P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}$$ 代表「最多 \(x\) 次失敗」的機率；上尾累積機率 $$Q(x, p) = (1 - p)^{x}$$ 則代表「至少 \(x\) 次失敗」的機率。請先選擇對應的模式，再輸入該機率值。
公式說明
令 \(q = 1 - p\)。反解下尾 CDF：由 \(1 - q^{x+1} = P\) 可得 $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1.$$ 反解上尾 CDF：由 \(q^{x} = Q\) 可得 $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}.$$ 由於 \(x\) 必須是整數的失敗次數，因此回報的百分位點為 \(\lceil x \rceil\)（向上取整），並限制其最小值為 0。為了精密計算，工具同時也會顯示連續（實數值）解。
範例演算
下尾模式，\(P = 0.8\)，\(p = 0.4\)。此時 \(q = 0.6\)，\(\ln(0.6) = -0.5108256\)。$$x = \frac{\ln(0.2)}{\ln(0.6)} - 1 = \frac{-1.6094379}{-0.5108256} - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035.$$ 向上取整後得到整數百分位數 \(x = 3\)。驗算：\(P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 \ge 0.8\)，而 \(P(2) = 0.784 < 0.8\)，確認 \(x = 3\) 正確。
常見問題
為什麼要向上取整才是百分位數？整數分位數是指累積機率達到目標值的最小 \(x\)，因此我們將連續解向上取整。
若 \(p = 0\) 或 \(p = 1\) 會如何？當 \(p = 0\) 時永遠不會成功，分位數為未定義／無限大。當 \(p = 1\) 時所有機率都集中在 \(x = 0\)，因此分位數為 0。
\(P\) 可以剛好等於 1 嗎？在下尾模式中，沒有任何有限的 \(x\) 能使 \(P = 1\)（CDF 只會趨近於 1 而無法達到），因此此輸入會回報為未定義。
