Ce que fait ce calculateur
Cet outil renvoie le percentile (quantile) de la loi géométrique : à partir d'une probabilité cumulée et de la probabilité de succès p à chaque essai, il détermine la valeur x. Ici, la loi géométrique compte le nombre d'échecs avant le premier succès, définie sur x = 0, 1, 2, 3, …. Sa fonction de masse de probabilité s'écrit \(f(x, p) = p(1 - p)^{x}\).
Les deux conventions de cumul
Vous pouvez raisonner à partir de l'une ou l'autre des queues de la distribution. Le cumul inférieur \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) correspond à la probabilité d'avoir au plus x échecs. Le cumul supérieur \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) correspond à la probabilité d'avoir au moins x échecs. Choisissez le mode qui convient, puis saisissez la probabilité correspondante.
La formule expliquée
Posons \(q = 1 - p\). En inversant la fonction de répartition inférieure : \(1 - q^{x+1} = P\) donne $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1.$$ En inversant la fonction de répartition supérieure : \(q^{x} = Q\) donne $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}.$$ Comme x doit représenter un nombre entier d'échecs, le point percentile renvoyé correspond à \(\lceil x \rceil\) (l'arrondi à l'entier supérieur), borné à une valeur minimale de 0. La solution continue à valeur réelle est également affichée pour les calculs de précision.
Exemple détaillé
Mode inférieur, \(P = 0{,}8\) et \(p = 0{,}4\). On a alors \(q = 0{,}6\) et \(\ln(0{,}6) = -0{,}5108256\). $$x = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}6)} - 1 = \frac{-1{,}6094379}{-0{,}5108256} - 1 = 3{,}151035 - 1 = 2{,}151035.$$ En arrondissant à l'entier supérieur, on obtient le percentile entier \(x = 3\). Vérification : \(P(3) = 1 - 0{,}6^{4} = 0{,}8704 \ge 0{,}8\), tandis que \(P(2) = 0{,}784 < 0{,}8\), ce qui confirme \(x = 3\).
FAQ
Pourquoi l'arrondi supérieur donne-t-il le percentile ? Le quantile entier est le plus petit x dont la probabilité cumulée atteint la cible ; on arrondit donc la solution continue à l'entier supérieur.
Que se passe-t-il si p = 0 ou p = 1 ? Avec \(p = 0\), le succès ne survient jamais : le quantile est donc indéfini ou infini. Avec \(p = 1\), toute la masse est concentrée en \(x = 0\), et le quantile vaut donc 0.
P peut-il valoir exactement 1 ? Aucun x fini n'atteint \(P = 1\) en mode inférieur (la fonction de répartition ne fait que s'approcher de 1) : cette saisie est donc signalée comme indéfinie.
