ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُرجع هذه الأداة المئين (الكميّ) للتوزيع الهندسي: فبمعلومية احتمال تراكمي واحتمال النجاح p لكل محاولة، تجد القيمة x. يَعُدّ التوزيع الهندسي هنا عدد حالات الفشل قبل أول نجاح، وهو معرَّف على القيم x = 0، 1، 2، 3، .... ودالة الكتلة الاحتمالية له هي $$f(x, p) = p(1 - p)^{x}.$$
اصطلاحا التراكم
يمكنك الانطلاق من أيٍّ من الذيلين. فالتراكم الأدنى \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) هو احتمال وقوع x حالة فشل على الأكثر. أما التراكم الأعلى \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) فهو احتمال وقوع x حالة فشل على الأقل. اختَر الوضع المناسب، ثم أدخِل الاحتمال الموافق له.
شرح الصيغة
لِنَفرض \(q = 1 - p\). وبعكس دالة التوزيع التراكمية الدنيا: \(1 - q^{x+1} = P\) نحصل على $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1.$$ وبعكس دالة التوزيع التراكمية العليا: \(q^{x} = Q\) نحصل على $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}.$$ وبما أنّ x يجب أن يكون عددًا صحيحًا من حالات الفشل، فإنّ نقطة المئين المعروضة هي \(\lceil x \rceil\) (التقريب لأعلى)، على ألّا تقلّ عن 0. كما تُعرض أيضًا الحلّ المستمر ذو القيمة الحقيقية للأعمال الدقيقة.
مثال محلول
الوضع الأدنى، \(P = 0.8\)، \(p = 0.4\). عندئذٍ \(q = 0.6\)، و\(\ln(0.6) = -0.5108256\). فيكون $$x = \frac{\ln(0.2)}{\ln(0.6)} - 1 = \frac{-1.6094379}{-0.5108256} - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035.$$ وبالتقريب لأعلى نحصل على المئين الصحيح \(x = 3\). وللتحقّق: \(P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 \ge 0.8\)، بينما \(P(2) = 0.784 < 0.8\)، وهذا يؤكّد أنّ \(x = 3\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يعطي التقريب لأعلى (ceil) المئين؟ الكميّ الصحيح هو أصغر قيمة x يبلغ احتمالها التراكمي القيمة المستهدفة، لذا نقرّب الحلّ المستمر لأعلى.
ماذا لو كان p = 0 أو p = 1؟ عندما يكون \(p = 0\) لا يحدث النجاح أبدًا، ومن ثَمّ يكون الكميّ غير معرَّف/لا نهائيًا. وعندما يكون \(p = 1\) تتركّز الكتلة كلها عند \(x = 0\)، فيكون الكميّ مساويًا 0.
هل يمكن أن يكون P مساويًا 1 تمامًا؟ لا توجد قيمة منتهية لـ x تبلغ \(P = 1\) في الوضع الأدنى (إذ تقترب دالة التوزيع التراكمية من 1 دون أن تبلغها)، لذا يُبلَّغ عن هذا الإدخال على أنه غير معرَّف.
