ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب قيم التوزيع الأسي عند نقطة محددة x ولمعامل قياس معطى b. وتعطيك ثلاث نتائج: دالة الكثافة الاحتمالية f(x)، والاحتمال التراكمي الأدنى (الأيسر) P(X ≤ x)، والاحتمال التراكمي الأعلى (الأيمن) P(X > x). والتوزيع الأسي مفهوم رياضي عالمي — لا يتغير من بلد إلى آخر — ويُستخدم على نطاق واسع لنمذجة أوقات الانتظار، والأعمار الافتراضية، والفترات الفاصلة بين الأحداث العشوائية المستقلة.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة x غير سالبة، ومعامل قياس b موجبًا تمامًا، ثم اقرأ النتائج الثلاث. هنا يمثل b معامل القياس، وهو يساوي متوسط التوزيع؛ أما معامل المعدل فهو \(\lambda = 1/b\). وإذا كان كتابك الدراسي يعتمد صياغة المعدل، فما عليك سوى ضبط \(b = 1/\lambda\) قبل إدخاله.
شرح الصيغة الرياضية
عندما يكون \(x \ge 0\) وb > 0:
- الكثافة: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- التراكمي الأدنى (الدالة التراكمية CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- التراكمي الأعلى (دالة البقاء): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
وبما أن حد البقاء \(e^{-x/b}\) يُحسب مرة واحدة ويُعاد استخدامه، فإن مجموع الاحتمالين التراكميين الأدنى والأعلى يساوي دائمًا 1 بالضبط.
مثال محلول
لنأخذ \(x = 2\) وb = 1. تكون النسبة \(x/b = 2\)، و\(e^{-2} \approx 0.135335\). وبذلك تكون الكثافة $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0.135335 = 0.135335,$$ والتراكمي الأدنى \(1 - 0.135335 = 0.864665\)، والتراكمي الأعلى 0.135335. وللتحقق: \(0.864665 + 0.135335 = 1.0\).
الأسئلة الشائعة
ما هو معامل القياس b؟ هو متوسط التوزيع الأسي. وكلما زادت قيمة b اتسع التوزيع وانخفضت الكثافة قرب الصفر.
ماذا لو كان b هو المعدل بدلًا من القياس؟ إذا كان لديك المعدل \(\lambda\)، فأدخل \(b = 1/\lambda\). فمثلًا، المعدل 0.5 يعني أن معامل القياس \(b = 2\).
ماذا يحدث عند x = 0؟ تساوي الكثافة \(1/b\)، ويكون التراكمي الأدنى 0، والتراكمي الأعلى 1، لأنه لم يمضِ أي وقت بعد.
