ما هي حاسبة توزيع بواسون؟
يَنمذج توزيع بواسون عدد الأحداث التي تقع خلال فترة زمنية أو مكانية محددة، بافتراض معدل متوسط ثابت ومعروف (الوسط)، وأن الأحداث تقع بشكل مستقل عن بعضها. تقوم هذه الحاسبة بجدولة ثلاث قيم عبر سلسلة من قيم x: الكتلة الاحتمالية \(f(x;\lambda)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\).
طريقة الاستخدام
اختر السلسلة التي تريد إبرازها (الكتلة الاحتمالية f، أو التراكمي السفلي P، أو التراكمي العلوي Q). أدخِل قيمة الوسط \(\lambda\) (يجب أن تكون \(\ge 0\))، والقيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة (الخطوة)، وعدد التكرارات (الصفوف). تُولِّد الحاسبة القيم x = القيمة الابتدائية، القيمة الابتدائية + الخطوة، القيمة الابتدائية + 2\(\cdot\)الخطوة، … وتعرض لكل قيمة f وP وQ مع تمييز العمود المُختار.
شرح المعادلة
دالة الكتلة الاحتمالية هي $$f(x;\lambda) = \frac{\lambda^{\,x}\,e^{-\lambda}}{x!}$$ ويجمع التوزيع التراكمي السفلي كل الكتل الاحتمالية حتى x: $$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} \frac{\lambda^{\,t}\,e^{-\lambda}}{t!}$$ أما الاحتمال التراكمي العلوي فيشمل الحد عند x نفسه: $$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda)$$ ولذلك يتداخل P وQ عند \(f(x)\). ولضمان الاستقرار العددي نحسب f باستخدام لوغاريتمات المضروب: \(f = \exp(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!))\).
مثال محلول
عند \(\lambda = 5\) و \(x = 0\): نجد \(e^{-5} = 0.006737947\)، إذًا \(f(0) = 0.006737947\)، و \(P(0) = 0.006737947\)، و $$Q(0) = 1 - 0.006737947 + 0.006737947 = 1$$ وعند \(x = 5\) يكون \(f(5) = 0.175467\)، و \(P(5) = 0.615961\)، و \(Q(5) = 0.559507\) — أي أن نحو 61.6% من الكتلة الاحتمالية تقع عند \(X \le 5\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يتجاوز مجموع P + Q الواحد؟ لأن كلًا من التراكمي السفلي P (\(X \le x\)) والتراكمي العلوي Q (\(X \ge x\)) يشمل الكتلة عند النقطة \(f(x)\)؛ لذا يكون مجموعهما \(1 + f(x)\).
ماذا يحدث عندما تكون \(\lambda = 0\)؟ تتركز كل الكتلة عند \(x = 0\): فيكون \(f(0) = 1\)، و \(f(x) = 0\) لكل \(x > 0\)، و \(P(x) = 1\) لكل \(x \ge 0\).
هل يمكن أن تكون \(\lambda\) غير صحيحة (كسرية)؟ نعم — فـ \(\lambda\) هي معدل، وقد تأخذ أي قيمة \(\ge 0\)؛ أما قيم x فهي أعداد صحيحة غير سالبة.
