ما هي حاسبة مئين توزيع كاي تربيع؟
تتيح لك هذه الأداة إيجاد النقطة المئوية لتوزيع كاي تربيع χ² (وتُعرف أيضًا بالكَمِّيّة أو المئين، وكثيرًا ما يُشار إليها باسم القيمة الحرجة). فعند إدخال احتمال تراكمي وعدد درجات الحرية، تُرجع الأداة القيمة x التي تجعل دالة التوزيع التراكمي (CDF) لكاي تربيع تساوي الاحتمال المطلوب. إنها معكوس دالة التوزيع التراكمي لكاي تربيع، وتُستخدم على نطاق واسع في اختبارات الفرضيات، واختبارات جودة المطابقة، وتحليل جداول التوافق، وفترات الثقة للتباين.
طريقة الاستخدام
اختر أولًا نمط الاحتمال التراكمي. اختر «الاحتمال التراكمي السفلي P» عندما يكون احتمالك على الصورة \(P = P(X \le x)\)، أي المساحة الواقعة على يسار \(x\). واختر «الاحتمال التراكمي العلوي Q» عندما يكون احتمالك مساحة الذيل \(Q = P(X > x)\)، وهو غالبًا مستوى المعنوية ألفا في الاختبار أحادي الجانب. ثم أدخل قيمة الاحتمال (بحيث تكون محصورة تمامًا بين 0 و1) وعدد درجات الحرية (nu، ويُرمز له أيضًا بـ k). وتعرض الحاسبة قيمة كاي تربيع \(x\).
شرح المعادلة
إن دالة التوزيع التراكمي لكاي تربيع بـ nu درجة حرية هي دالة غاما الناقصة السفلية المنظَّمة: \(F(x; \nu) = \text{regularizedGammaP}\!\left(\frac{\nu}{2}, \frac{x}{2}\right)\). وما نحتاج إليه هو المعكوس. فإذا وضعنا \(a = \frac{\nu}{2}\) والاحتمال الهدف \(p\) (حيث \(p = P\) في النمط السفلي، أو \(p = 1 - Q\) في النمط العلوي)، فإننا نحل المعادلة $$\text{regularizedGammaP}(a, z) = p$$ لإيجاد \(z\)، ثم نحسب \(x = 2z\). ويجمع الحالّ بين متسلسلة لانهائية وكسر مستمر لدالة غاما الناقصة، مع باحث عن الجذور بطريقة نيوتن/التنصيف لضمان التقارب.
مثال محلول
لنأخذ النمط السفلي مع \(P = 0.95\) وnu \(= 10\). عندئذٍ يكون \(a = 5\)، ونحل المعادلة \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0.95\) فنحصل على \(z \approx 9.1535\)، ومنه \(x = 2z \approx 18.307\). وهذا يطابق القيمة الحرجة الكلاسيكية \(\text{chi-square}(0.95, 10) = 18.307\). وباستخدام النمط العلوي مع \(Q = 0.05\) وnu \(= 10\) يصبح \(p = 1 - 0.05 = 0.95\)، فنحصل على القيمة نفسها \(x \approx 18.307\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين P وQ؟ القيمة \(P\) هي المساحة الواقعة على يسار \(x\) (الذيل السفلي)، أما \(Q\) فهي المساحة الواقعة على يمينها (الذيل العلوي)، ومجموعهما \(P + Q = 1\).
هل يمكن أن تكون درجات الحرية غير صحيحة (كسرية)؟ نعم. فالمعادلة المبنية على دالة غاما تعمل مع أي قيمة \(\nu > 0\)، رغم أن معظم الجداول الإحصائية تعتمد أعدادًا صحيحة.
ما مجال الاحتمال الصالح؟ يجب أن يكون \(0 < \text{الاحتمال} < 1\) تمامًا. فعند 0 تكون الكَمِّيّة صفرًا، وكلما اقترب الاحتمال من 1 ازدادت الكَمِّيّة بلا حدود.
