카이제곱 분포 백분위수 계산기란?
이 도구는 카이제곱 분포의 백분위점(분위수 또는 백분위수, 흔히 임계값이라고도 함)을 계산합니다. 누적확률과 자유도를 입력하면, 카이제곱 누적분포함수(CDF)가 목표 확률과 같아지는 값 x를 돌려줍니다. 즉 카이제곱 CDF의 역함수를 구하는 셈이며, 가설검정·적합도 검정·분할표(교차표) 분석·분산의 신뢰구간 계산 등에서 폭넓게 활용됩니다.
사용 방법
먼저 누적 방식을 고르세요. 확률이 \(P = P(X \le x)\), 즉 x의 왼쪽 면적일 때는 "하측 누적확률 P"를 선택합니다. 단측 검정에서 흔히 쓰는 유의수준 alpha처럼 꼬리 면적 \(Q = P(X > x)\)를 다룰 때는 "상측 누적확률 Q"를 선택합니다. 이어서 확률(0과 1 사이, 양 끝값 제외)과 자유도(\(\nu\), k로도 표기)를 입력하면 카이제곱 값 x가 계산됩니다.
공식 설명
자유도 \(\nu\)인 카이제곱 CDF는 정규화 하측 불완전 감마함수로 표현됩니다: \(F(x;\,\nu) = \operatorname{regularizedGammaP}\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x}{2}\right)\). 우리가 구하려는 것은 이 함수의 역입니다. \(a = \frac{\nu}{2}\)로 두고 목표 확률 p(하측 방식에서는 \(p = P\), 상측 방식에서는 \(p = 1 - Q\))에 대해 \(\operatorname{regularizedGammaP}(a, z) = p\)를 풀어 z를 구한 뒤 \(x = 2z\)로 변환합니다. 다음을 만족하는 \(x_p\)를 구합니다:
$$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$계산기는 불완전 감마함수에 대해 급수 전개와 연분수를 함께 사용하고, 안정적인 수렴을 위해 뉴턴·이분법 근 찾기를 결합합니다.
풀이 예시
하측 방식에서 \(P = 0.95\), \(\nu = 10\)을 가정해 봅시다. 그러면 \(a = 5\)이고 \(\operatorname{regularizedGammaP}(5, z) = 0.95\)를 풀면 \(z \approx 9.1535\)이 되어 \(x = 2z \approx 18.307\)입니다. 이는 잘 알려진 임계값 \(\chi^2(0.95,\,10) = 18.307\)과 정확히 일치합니다. 상측 방식에서 \(Q = 0.05\), \(\nu = 10\)을 넣으면 \(p = 1 - 0.05 = 0.95\)가 되어 동일하게 \(x \approx 18.307\)을 얻습니다.
자주 묻는 질문
P와 Q는 어떻게 다른가요? P는 x의 왼쪽 면적(하측 꼬리), Q는 오른쪽 면적(상측 꼬리)이며 \(P + Q = 1\)입니다.
자유도가 정수가 아니어도 되나요? 됩니다. 감마함수 기반 공식은 \(\nu > 0\)인 모든 값에 대해 성립합니다. 다만 대부분의 통계표는 정수 자유도를 사용합니다.
유효한 확률 범위는 무엇인가요? 반드시 \(0 < \text{확률} < 1\)이어야 합니다. 확률이 0이면 분위수는 0이고, 1에 가까워질수록 분위수는 한없이 커집니다.
