什麼是卜瓦松分布計算器？
卜瓦松分布（Poisson distribution）用來描述在固定的時間區間或空間範圍內，某事件發生的次數，前提是已知一個固定的平均發生率（平均數），且各事件彼此獨立發生。本計算器會依一連串 x 值，同時列出三項數值：機率質量 \(f(x;\lambda)\)、下累積機率 \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\)，以及上累積機率 \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\)。
使用方式
先選擇要強調顯示的數列（機率質量 f、下累積機率 P，或上累積機率 Q）。接著輸入平均數 \(\lambda\)（必須 \(\ge 0\)）、x 的起始值、遞增量（步長），以及重複次數（列數）。計算器會自動產生 \(x = \text{起始值},\ \text{起始值}+\text{步長},\ \text{起始值}+2\cdot\text{步長},\ \ldots\) 並逐列顯示對應的 f、P 與 Q，同時強調您所選的欄位。
公式說明
機率質量函數為 $$f(x;\lambda) = \frac{\lambda^{\,x}\,e^{-\lambda}}{x!}.$$下累積分布是將 x 以前（含 x）的所有機率質量加總：$$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} \frac{\lambda^{\,t}\,e^{-\lambda}}{t!}.$$上累積機率則包含 x 當點本身的機率：$$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda),$$因此 P 與 Q 會在 \(f(x)\) 這一項重疊。為了維持數值運算的穩定，本計算器以對數階乘來計算 f：$$f = \exp\!\left(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!)\right).$$
實際範例
當 \(\lambda = 5\)、\(x = 0\) 時：\(e^{-5} = 0.006737947\)，因此 \(f(0) = 0.006737947\)、\(P(0) = 0.006737947\)，而 $$Q(0) = 1 - 0.006737947 + 0.006737947 = 1.$$當 \(x = 5\) 時，\(f(5) = 0.175467\)、\(P(5) = 0.615961\)、\(Q(5) = 0.559507\) — 也就是說，約有 61.6% 的機率質量落在 \(X \le 5\) 的範圍內。
常見問題
為什麼 P + Q 會大於 1？因為下累積機率 P（X ≤ x）與上累積機率 Q（X ≥ x）都包含了 x 當點的機率質量 \(f(x)\)，所以兩者相加會等於 \(1 + f(x)\)。
當 \(\lambda = 0\) 時會怎樣？所有機率質量都集中在 x = 0：\(f(0) = 1\)、\(x > 0\) 時 \(f(x) = 0\)，而對於每一個 \(x \ge 0\)，\(P(x)\) 皆為 1。
\(\lambda\) 可以是非整數嗎？可以 — \(\lambda\) 是一個發生率，可為任何 \(\ge 0\) 的數值；但 x 值必須是非負整數。
