ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
يُعدّ توزيع كاي تربيع من أكثر التوزيعات استخدامًا في علم الإحصاء، إذ يقوم عليه اختبار جودة المطابقة، واختبار الاستقلالية في جداول التقاطع (الجداول التوافقية)، وحساب فترات الثقة للتباين. تأخذ هذه الأداة نقطة مئينية x ودرجات الحرية \(\nu\)، وتُرجع ثلاث قيم بدقة عالية: الكثافة الاحتمالية \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(X \le x)\)، والاحتمال العلوي (احتمال الذيل) \(Q(X > x)\).
كيفية الاستخدام
أدخل قيمة غير سالبة لـ \(x\)، وقيمة موجبة لدرجات الحرية \(\nu\) (وهي عادةً عدد صحيح موجب، رغم أن المعادلة تصحّ أيضًا لقيم \(\nu\) غير الصحيحة). ثم اضغط على زر الحساب. تُخبرك الكثافة الاحتمالية بالاحتمال النسبي عند القيمة \(x\) تحديدًا، ويعطيك الاحتمال السفلي المساحة الواقعة إلى اليسار (وهو مُتمِّم القيمة الاحتمالية p لاختبار أحادي الجانب من جهة السفل)، أما الاحتمال العلوي فيعطيك مساحة الذيل الأيمن، وهي القيمة الاحتمالية p التي تُورِدها معظم اختبارات الدلالة الإحصائية المعتمدة على كاي تربيع.
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ من أجل \(x > 0\)، حيث \(\Gamma\) هي دالة غاما. ويساوي الاحتمال التراكمي دالة غاما الناقصة السفلية المنظَّمة \(P(k/2, x/2)\). ونحسبه عدديًا باستخدام مفكوك متسلسلة عندما يكون \(x/2 < k/2 + 1\)، وباستخدام مفكوك الكسر المستمر (طريقة لينتز Lentz) في الحالات الأخرى، مع تقييم دالة غاما عبر تقريب لانكزوس للوغاريتم غاما (log-gamma) لضمان الاستقرار العددي.
مثال محلول
من أجل \(x = 2\) و \(\nu = 3\)، نضع \(a = k/2 = 1.5\) و \(z = x/2 = 1\). تكون الكثافة $$f = \exp[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)] \approx 0.20755.$$ ويكون الاحتمال السفلي $$P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759,$$ ومن ثَمَّ يكون احتمال الذيل العلوي $$Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241.$$
الأسئلة الشائعة
ما المقصود بدرجات الحرية؟ في الاختبارات الإحصائية تساوي عادةً عدد الفئات مطروحًا منه القيود، فمثلًا في الجدول التوافقي تكون \((\text{عدد الصفوف}-1)(\text{عدد الأعمدة}-1)\).
أيُّ القيم هي القيمة الاحتمالية p؟ في اختبار كاي تربيع المعياري تكون القيمة الاحتمالية p هي الاحتمال التراكمي العلوي \(Q(X > x)\).
هل يمكن أن تكون x صفرًا أو سالبة؟ عند \(x = 0\) تعتمد الكثافة على \(\nu\) ويكون الاحتمال التراكمي مساويًا للصفر. أما القيم السالبة لـ \(x\) فتقع خارج مجال التوزيع، فينتج عنها \(f = 0\) و \(P = 0\) و \(Q = 1\).
