Công cụ này làm gì
Phân phối Chi bình phương là một trong những phân phối được dùng nhiều nhất trong thống kê, là nền tảng cho kiểm định mức độ phù hợp (goodness-of-fit), kiểm định tính độc lập trong bảng tần số (contingency table) và khoảng tin cậy cho phương sai. Công cụ này nhận một điểm phân vị x và bậc tự do ν, rồi trả về ba đại lượng có độ chính xác cao: mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) và xác suất đuôi trên \(Q(X > x)\).
Cách sử dụng
Hãy nhập một giá trị không âm cho \(x\) và một giá trị dương cho bậc tự do \(\nu\) (thường là số nguyên dương, dù công thức vẫn đúng với \(\nu\) không nguyên). Bấm tính toán. Giá trị PDF cho biết mức độ khả năng tương đối ngay tại điểm \(x\); xác suất dưới là diện tích bên trái (phần bù của p-value cho kiểm định một phía bên dưới); còn xác suất trên là diện tích đuôi phải — chính là p-value mà hầu hết các kiểm định ý nghĩa Chi bình phương báo cáo.
Giải thích công thức
Hàm mật độ là
$$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$với \(x > 0\), trong đó \(\Gamma\) là hàm gamma. Xác suất tích lũy bằng hàm gamma không hoàn chỉnh dưới đã chuẩn hóa \(P\!\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)\). Chúng tôi tính giá trị này bằng phương pháp số: dùng khai triển chuỗi khi \(x/2 < k/2 + 1\) và khai triển liên phân số (phương pháp Lentz) trong các trường hợp còn lại, với hàm gamma được tính qua xấp xỉ log-gamma Lanczos để đảm bảo độ ổn định.
Ví dụ minh họa
Với \(x = 2\) và \(\nu = 3\), đặt \(a = k/2 = 1.5\) và \(z = x/2 = 1\). Mật độ là
$$f = \exp\left[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)\right] \approx 0.20755$$Xác suất dưới \(P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759\), do đó xác suất đuôi trên \(Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241\).
Câu hỏi thường gặp
Bậc tự do là gì? Trong các kiểm định, bậc tự do thường bằng số nhóm trừ đi số ràng buộc, ví dụ \((\text{số hàng}-1)(\text{số cột}-1)\) đối với bảng tần số.
Giá trị nào là p-value? Đối với kiểm định Chi bình phương tiêu chuẩn, p-value chính là xác suất tích lũy trên \(Q(X > x)\).
x có thể bằng 0 hay âm không? Tại \(x = 0\), mật độ phụ thuộc vào \(\nu\) và xác suất tích lũy bằng 0. Giá trị \(x\) âm nằm ngoài miền xác định, cho \(f = 0\), \(P = 0\), \(Q = 1\).
