Bu araç ne işe yarar?
Ki-kare dağılımı, istatistikte en sık kullanılan dağılımlardan biridir; uyum iyiliği testlerinin, kontenjans tablosu bağımsızlık testlerinin ve varyans için güven aralıklarının temelini oluşturur. Bu araç bir yüzdelik nokta olan x değerini ve serbestlik derecesi ν değerini alır, ardından yüksek hassasiyetli üç sonuç döndürür: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst (kuyruk) olasılığı \(Q(X > x)\).
Nasıl kullanılır?
x için negatif olmayan bir değer, serbestlik derecesi ν için ise pozitif bir değer girin (genellikle pozitif bir tam sayıdır, ancak matematiksel olarak tam sayı olmayan ν değerleri de işler). Ardından hesapla düğmesine basın. PDF, tam olarak x noktasındaki bağıl olabilirliği gösterir; alt olasılık, sola düşen alanı verir (tek yönlü alt kuyruk testinin p-değerini tamamlayan kısım); üst olasılık ise sağ kuyruk alanını verir; bu da çoğu ki-kare anlamlılık testinde raporlanan p-değeridir.
Formülün açıklaması
Yoğunluk fonksiyonu, \(x > 0\) için $$f(x;k) = \frac{x^{k/2-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}$$ şeklindedir; burada \(\Gamma\) gama fonksiyonudur. Kümülatif olasılık, düzenlenmiş alt eksik gama fonksiyonu \(P(k/2,\, x/2)\) değerine eşittir. Bunu sayısal olarak hesaplarken \(x/2 < k/2 + 1\) olduğunda seri açılımı, aksi durumda ise sürekli kesir açılımı (Lentz yöntemi) kullanırız; gama fonksiyonu ise kararlılık için Lanczos log-gama yaklaşımıyla değerlendirilir.
Örnek hesaplama
\(x = 2\) ve \(\nu = 3\) için, \(a = k/2 = 1{,}5\) ve \(z = x/2 = 1\) olarak belirleyelim. Yoğunluk şöyle hesaplanır: $$f = \exp\!\left[(0{,}5)\ln 2 - 1 - 1{,}5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1{,}5)\right] \approx 0{,}20755.$$ Alt olasılık \(P(X \le 2) = P(1{,}5,\, 1) \approx 0{,}42759\) olduğundan, üst kuyruk olasılığı $$Q = 1 - 0{,}42759 \approx 0{,}57241$$ olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Serbestlik derecesi nedir? Testlerde genellikle kategori sayısından kısıtların çıkarılmasıyla bulunur; örneğin bir kontenjans tablosunda \((\text{satır}-1)(\text{sütun}-1)\) ile hesaplanır.
Hangi değer p-değeridir? Standart bir ki-kare testinde p-değeri, üst kümülatif olasılık olan \(Q(X > x)\) değeridir.
x sıfır veya negatif olabilir mi? \(x = 0\) noktasında yoğunluk ν değerine bağlıdır ve kümülatif olasılık 0'dır. Negatif x değeri tanım kümesinin dışındadır; bu durumda \(f = 0\), \(P = 0\) ve \(Q = 1\) olur.
