Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa la distribución exponencial en un punto elegido x para un parámetro de escala b determinado. Devuelve tres valores: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior (izquierda) \(P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior (derecha) \(P(X > x)\). La distribución exponencial es matemática universal —idéntica en todas partes— y se utiliza ampliamente para modelar tiempos de espera, vidas útiles y los intervalos entre sucesos aleatorios independientes.
Cómo usarla
Introduce un punto percentil x no negativo y un parámetro de escala b estrictamente positivo; luego consulta los tres resultados. Aquí b es la escala, que coincide con la media de la distribución; el parámetro de tasa es \(\lambda = 1/b\). Si tu libro de texto utiliza la parametrización por tasa, basta con calcular \(b = 1/\lambda\) antes de introducirlo.
La fórmula explicada
Para \(x \ge 0\) y \(b > 0\):
- Densidad: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- Acumulada inferior (CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- Acumulada superior (supervivencia): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
Como el término de supervivencia \(e^{-x/b}\) se calcula una sola vez y se reutiliza, las probabilidades acumuladas inferior y superior siempre suman exactamente 1.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 2\) y \(b = 1\). El cociente \(x/b = 2\) y \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). Por tanto, la densidad es $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}135335,$$ la acumulada inferior es \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\) y la acumulada superior es \(0{,}135335\). Comprobación: \(0{,}864665 + 0{,}135335 = 1{,}0\).
Preguntas frecuentes
¿Qué es el parámetro de escala b? Es la media de la distribución exponencial. Un valor mayor de b expande la distribución y reduce la densidad cerca de cero.
¿Y si b representa la tasa? Si dispones de la tasa \(\lambda\), introduce \(b = 1/\lambda\). Por ejemplo, una tasa de 0,5 equivale a una escala \(b = 2\).
¿Qué ocurre en x = 0? La densidad vale \(1/b\), la acumulada inferior es 0 y la acumulada superior es 1, ya que todavía no ha transcurrido ningún tiempo.
