¿Qué es la distribución chi-cuadrado no central?
La distribución chi-cuadrado no central generaliza la distribución chi-cuadrado ordinaria (central) al incorporar un parámetro de no centralidad lambda. Describe la suma de los cuadrados de variables normales independientes cuyas medias no son nulas. Se utiliza ampliamente en el análisis de potencia estadística, la detección de señales y los contrastes de hipótesis. Esta calculadora es matemática pura y tiene aplicación universal: no depende de normas de ningún país en concreto.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué magnitud quieres obtener: la densidad de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior P o la probabilidad acumulada superior Q. Introduce los grados de libertad nu (deben ser mayores que 0), la no centralidad lambda (debe ser al menos 0) y un valor de referencia x. Define además un valor inicial de x, un incremento del paso y el número de filas para generar una tabla de pares (x, valor) a lo largo de un rango.
La fórmula explicada
La chi-cuadrado no central es una mezcla de distribuciones chi-cuadrado centrales ponderada por una Poisson(lambda/2). El peso del término j es \(w_j = e^{-\lambda/2}\,(\lambda/2)^{j}/j!\). La densidad es
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$es decir, la suma de \(w_j\) por la densidad chi-cuadrado central con \(\nu+2j\) grados de libertad. La probabilidad acumulada inferior es esa misma mezcla aplicada a la función de distribución (CDF) chi-cuadrado central, que recurre a la función gamma incompleta inferior regularizada:
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$La probabilidad acumulada superior es, simplemente, \(Q = 1 - P\).
Ejemplo resuelto
Para \(\nu = 3\), \(\lambda = 1\), \(x = 2\): los pesos de la Poisson(0,5) son \(0{,}6065\), \(0{,}3033\), \(0{,}0758\), \(0{,}0126\) y \(0{,}0016\). Las CDF chi-cuadrado centrales en \(x = 2\) para \(3, 5, 7, 9\) y \(11\) grados de libertad valen \(0{,}4276\), \(0{,}1511\), \(0{,}0387\), \(0{,}0074\) y \(0{,}0011\). La suma ponderada da \(P \approx 0{,}3082\), de modo que \(Q \approx 0{,}6918\). La densidad \(f\) en ese mismo punto es aproximadamente \(0{,}173\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando lambda = 0? La distribución se reduce exactamente a la chi-cuadrado central con nu grados de libertad, porque solo sobrevive el término \(j = 0\) con peso 1.
¿Puede nu no ser entero? Sí. La función gamma admite cualquier nu mayor que 0, así que los grados de libertad fraccionarios son perfectamente válidos.
¿Por qué la densidad es 0 en x = 0? Para nu igual o mayor que 2, la densidad es 0 en el origen; para nu menor que 2 diverge, por lo que la calculadora devuelve 0 en \(x = 0\) como límite práctico.
