Qué hace esta calculadora
La calculadora del punto porcentual inverso de la chi-cuadrado halla el cuantil x de la distribución chi-cuadrado a partir de una probabilidad acumulada y los grados de libertad. Dicho de otro modo, resuelve la función de distribución acumulada inversa (CDF inversa) y devuelve el valor crítico que se utiliza en los contrastes de hipótesis, los intervalos de confianza y las pruebas de bondad de ajuste. Se trata de matemática pura y universal, así que funciona exactamente igual en cualquier país.
Cómo usarla
Elige primero el modo acumulado. Selecciona Cola izquierda si tu probabilidad P corresponde a \(P(X \le x)\) (el área a la izquierda). Selecciona Cola derecha si tu probabilidad Q corresponde a \(P(X > x)\) (el área a la derecha, la forma habitual para los valores críticos). Introduce la probabilidad entre 0 y 1 y, a continuación, los grados de libertad (nu), que deben ser positivos. La calculadora te devolverá el valor de \(x\).
La fórmula
La CDF de la chi-cuadrado con nu grados de libertad es \(F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)\), donde P es la función gamma incompleta inferior regularizada. Para la cola izquierda resolvemos:
$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$Para la cola derecha tomamos \(p_{\text{eff}} = 1 - Q\) y resolvemos:
$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$La ecuación se invierte de forma numérica mediante una bisección con acotamiento robusta sobre \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\).
Ejemplo resuelto
Cola derecha, \(Q = 0{,}05\), \(\nu = 10\). Entonces \(p_{\text{eff}} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\), de modo que resolvemos \(F(x;\ 10) = 0{,}95\), es decir, \(\text{regularizedGammaP}\!\left(5, \tfrac{x}{2}\right) = 0{,}95\). La raíz es \(x \approx 18{,}307\), el conocido valor crítico de la chi-cuadrado con 10 grados de libertad para un nivel del 5 % en la cola derecha.
Preguntas frecuentes
¿Qué significan aquí los grados de libertad? Son el parámetro de forma nu de la distribución chi-cuadrado; el parámetro de forma equivalente de la distribución gamma es \(\tfrac{\nu}{2}\) con un parámetro de escala de 2.
¿Cola izquierda o cola derecha? La cola izquierda emplea el área situada a la izquierda de \(x\); la cola derecha emplea el área situada a la derecha de \(x\). Las tablas de valores críticos suelen indicar las probabilidades de la cola derecha.
¿Por qué x puede valer 0 o ser muy grande? A medida que la probabilidad efectiva de cola izquierda se acerca a 0, \(x\) tiende a 0; cuando se aproxima a 1, \(x\) crece sin límite.
